第 2 不等式

定理 6.4（「類体論」§6）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を代数体の有限次 Galois 拡大とする。このとき

[C_K : N_{L/K}C_L] \le [L:K]

である。より詳しく、 $U_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}\mathbb{I}_L$ となるモジュラス $\mathfrak{m}$ について、定理 7.2［アデールとイデール］の同型 $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$ は

C_K/N_{L/K}C_L \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})

を誘導する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 381 件、定義なども含めて 424 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ノルム写像の性質✓命題 8.2・アデールとイデール
- 大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
  - 代数体の素点の分類✓定理 8.3・付値と完備化この先をたどる →
  - 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
  - 代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
    リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体この先をたどる →
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 無限体上の線形空間は真の部分空間の有限和集合でない✓補題 3.2・局所体
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
  - 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化この先をたどる →
  - 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体（上で展開済み）
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体
  - 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
  - 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体この先をたどる →
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
- 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
- 不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性✓定理 4.4・局所体
  - 不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体この先をたどる →
  - 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
  - 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体（上で展開済み）
- Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
  - 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
  - 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化この先をたどる →
  - I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
- $C_K$ の開部分群と合同部分群✓定理 7.3・アデールとイデール
  - 射線類群のイデールによる表示と有限性✓定理 7.2・アデールとイデールこの先をたどる →
- イデアルの相対ノルム定義 7.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
弱近似定理（Artin–Whaples）✓定理 3.2・付値と完備化
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
ノルム群の指数の上界（第 2 不等式）✓定理 9.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- イデアルの相対ノルム定義 7.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 完全分解する素イデアルの密度✓定理 9.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →
- 射線類指標の L 関数と素イデアルの密度✓命題 6.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

巡回拡大のノルム指数と Hasse のノルム定理✓系 6.5・類体論
Q 上の相互法則と存在定理✓定理 7.6・類体論

第 2 不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件