数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

完全分解する素イデアルの密度

定理 9.1（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§9） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 343 件、定義なども含めて 384 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

  • 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域

    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待

    • 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待

      • 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
      • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    • アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待

      • デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
    • 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
    • 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待

      • ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
    • 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理 この先をたどる →
  • 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
    • 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理 この先をたどる →
    • 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大 この先をたどる →
    • 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
    • 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大 この先をたどる →
• 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域

  • 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域

    • イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

    • 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形 この先をたどる →
  • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質

    • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
• 素イデアルのノルムの逆数和✓補題 6.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

  • Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

    • 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • オイラー積表示✓定理 3.1・リーマン予想とは何か この先をたどる →
    • イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
    • イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
  • 解析的類数公式✓定理 5.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

    • Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極✓定理 5.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数 この先をたどる →
    • ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何か この先をたどる →
    • イデアル類ごとの整イデアルの個数✓定理 4.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• Artin 写像は全射で、ノルムの上で自明✓命題 5.2・類体論
• 完全分解する素イデアルが Galois 拡大を決める（Bauer）✓系 9.2・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
• ノルム群の指数の上界（第 2 不等式）✓定理 9.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

関連するノック 1 問

• 代数的整数論・類体論 第 40 問