数学 › 代数的整数論・類体論 › Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

イデアル類ごとの整イデアルの個数

定理 4.5（「Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を次数 $n$ の代数体、 $\mathfrak{C} \in \mathrm{Cl}(K)$ をイデアル類とする。 $\mathfrak{C}$ に属しノルムが $x$ 以下の整イデアルの個数を $\iota(x, \mathfrak{C})$ とすると、 $x \ge 1$ で

\iota(x, \mathfrak{C}) = \kappa x + O\bigl(x^{1 - 1/n}\bigr), \qquad \kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{w_K\sqrt{|d_K|}}

が成り立つ（ $O$ の定数は $K$ と $\mathfrak{C}$ による）。 $\kappa$ は類 $\mathfrak{C}$ によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 129 件、定義なども含めて 150 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
    加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数（上で展開済み）
- 単数規準の基本性質✓補題 4.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形この先をたどる →
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
Lipschitz な境界をもつ領域の格子点✓補題 4.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
- 基本領域の性質✓補題 2.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

解析的類数公式✓定理 5.3・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

イデアル類ごとの整イデアルの個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件