数学 › 解析学（実解析） › ℝ^d の変数変換公式と極座標
箱の測度と超平面
- 区間 （端点を含むかどうかは任意）について 。ここで は区間の長さ。
- 座標超平面 は を満たす。とくに閉立方体の境界は測度 である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 37 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度
二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定 この先をたどる →
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定 この先をたどる →
- ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定 この先をたどる →
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定 この先をたどる →
- 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 11 件
- 直線の面積は 0✓補題 7.1・数列と関数の極限
- 2 等分する直線は方向ごとにただ 1 本で、連続に動く✓補題 7.3・数列と関数の極限
- 三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式
- Gauss の円問題（ の評価）✓定理 7.4・図形と方程式
- ルベーグ測度との比較✓命題 3.8・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標