2 等分する直線は方向ごとにただ 1 本で、連続に動く

補題 7.3（「数列と関数の極限」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A\subseteq\mathbb R^2$ を有界な領域とする。

各 $\theta$ に対し、 $\varphi_A(\theta,c)=m(A)/2$ を満たす $c$ がちょうど 1 つ存在する。それを $c_A(\theta)$ と書く。
$\theta\mapsto c_A(\theta)$ は連続である。
$c_A(\theta+\pi)=-c_A(\theta)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度
  - 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
  - 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
半平面との共通部分の面積は連続✓補題 7.2・数列と関数の極限
- 直線の面積は 0✓補題 7.1・数列と関数の極限
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
    cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
- 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
  - exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

パンケーキ定理（平面）✓定理 7.4・数列と関数の極限

2 等分する直線は方向ごとにただ 1 本で、連続に動く

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件