数学 › 高校数学：関数と微分積分 › 指数・対数・三角関数をきちんと定義する

周期性と基本的な対称性

定理 7.3（「指数・対数・三角関数をきちんと定義する」§7） ・ ✓公理まで証明済み

  1. 任意の実数 xx に対し cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)=-\sin x、sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x+\dfrac\pi2\right)=\cos x。
  2. cos⁡π=−1\cos\pi=-1、sin⁡π=0\sin\pi=0。任意の xx に対し cos⁡(x+π)=−cos⁡x\cos(x+\pi)=-\cos x、sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin x、cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi)=\cos x、sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin x。
  3. [0,π/2][0,\pi/2] で cos⁡\cos は 11 から 00 へ連続に狭義単調減少し、sin⁡\sin は 00 から 11 へ狭義単調増加する。cos⁡>0\cos>0 は [0,π/2)[0,\pi/2) で、sin⁡>0\sin>0 は (0,π/2](0,\pi/2] で成り立つ。また [π/2,π][\pi/2,\pi] で cos⁡x=−sin⁡(x−π/2)∈[−1,0]\cos x=-\sin(x-\pi/2)\in[-1,0]、sin⁡x=cos⁡(x−π/2)≥0\sin x=\cos(x-\pi/2)\ge0 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 65 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 18 件