数学 › 微分積分学 › 級数と収束判定

絶対収束する級数のコーシー積

定理 7.9（「級数と収束判定」§7） ・ ✓公理まで証明済み

(an)n≥0(a_n)_{n\ge0}、(bn)n≥0(b_n)_{n\ge0} を実数または複素数の数列とし、∑n=0∞∣an∣\sum_{n=0}^\infty|a_n| と ∑n=0∞∣bn∣\sum_{n=0}^\infty|b_n| がともに収束するとする。

cn=∑k=0nakbn−k=a0bn+a1bn−1+⋯+anb0c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0

とおくと（この級数 ∑cn\sum c_n をコーシー積という）、∑n=0∞cn\sum_{n=0}^\infty c_n は絶対収束し、

∑n=0∞cn=(∑n=0∞an)(∑n=0∞bn)\sum_{n=0}^{\infty}c_n=\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\Bigr)\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\Bigr)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件