指数・対数・三角関数をきちんと定義する：級数から出発して π と弧の長さまで

0. この記事の要点

$\sin$ や $\pi$ は、高校では図形（円や角）を使って決めます。ところが、その説明をたどると、定義と証明がぐるぐる回っていることに気づきます。この記事は、図形を使わず、無限に足し算を続ける式だけから $e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\pi$ を作り直し、高校で使ってきた公式が本当に成り立つことを順に確かめます。読み終えると、「弧度法でなぜ弧の長さが角になるのか」を循環なしに説明できるようになります。

• 高校の教科書では、$\sin x$ を単位円で、$\pi$ を円周の長さで、角の大きさ（弧度）を弧の長さで定義します。ところが、$\sin x/x\to1$ の証明には「扇形の面積」を、扇形の面積や弧の長さの公式には微分積分を、微分積分の計算には $\sin$ の導関数を使っており、定義と定理が輪になっています。この記事は、その輪を断ち切る方法を示します。
• 方法は、幾何を一切使わずにべき級数だけから指数関数 $\exp$、余弦 $\cos$、正弦 $\sin$ を定義することです。そこから、加法定理、$\cos^2+\sin^2=1$、$\pi$ の定義（$\cos$ の最小の正の零点の 2 倍）、周期性、単位円の媒介変数表示 $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ が全単射であることを、順に証明します。
• そのあとで初めて幾何に戻り、曲線の長さを積分で定義すると単位円の弧の長さがちょうど $\theta$ になること、扇形の面積が $\theta/2$ になることを定理として証明します。これで「弧度法」が正当化されます。
• 対数は $\exp$ の逆関数、一般の指数 $a^x$ は $\exp(x\log a)$ と一致することを示し、$1^\infty$ 型の極限 $\lim(1+a_n)^{b_n}=\exp(\lim a_nb_n)$ を証明します。
• 逆三角関数・Machin の公式による $\pi$ の評価・双曲線関数・微分方程式 $y'=y$、$y''=-y$ の解の一意性も証明します。後の記事（三角関数・平面ベクトル・合同と相似・三角比）は、この記事の定理を根にします。

この記事で使う事前知識

• 数列の極限: 数列 $a_n$ が $n$ を大きくすると限りなくある値に近づくこと。$e$ もこの極限で定義されていました。→ 数列と関数の極限
• 実数の指数と対数: $a^x$ を実数 $x$ に広げた累乗と、$a^x=y$ となる $x$ を求める対数。→ 実数の指数、対数
• 微分係数: 関数のグラフの接線の傾きにあたる値。$\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ の $h\to0$ での極限。→ 微分係数
• 一様収束: 関数の列が、区間のどの点でも同じ速さで極限の関数に近づくこと。§2 の道具の土台です。→ 一様収束
• 全単射: 行き先のどの値にも、ちょうど 1 つの元が対応する写像（逆関数をもつ写像）のこと。

1. 動機：「定義」と「証明」が輪になっていないか

高校で次のように習ったことを思い出してください。

1. 角の大きさは弧度法で測る。半径 $1$ の円の弧の長さが $\theta$ になる角を $\theta$ ラジアンとする。
2. 単位円周上の点を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と書く。
3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$。（扇形の面積と三角形の面積を比べるはさみうちで証明する。）
4. したがって $(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$。
5. 円の面積 $\pi r^2$ や扇形の面積 $\tfrac12r^2\theta$、曲線の長さは積分で計算する。

3 で使う「扇形の面積は $\theta/2$」は、5 の積分を使えば（極座標の積分で）証明できますが、その積分は 4 の導関数（あるいは $\int\cos$ の計算）を使います。つまり、3 → 4 → 5 → 3 と輪になっています。高校ではこの輪を見ないふりをして進みますが、論理的には「どれが定義でどれが定理か」を決め直さないと、最初の一歩が踏めません。

高校の説明（左）では定義と証明が輪になる。この記事（右）は級数を根にして一方通行の依存にする

この記事の方針は、次の 3 点です。

• 定義は級数にします。$\exp x=\sum x^k/k!$、$\cos x=\sum(-1)^kx^{2k}/(2k)!$、$\sin x=\sum(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)!$。無限和の収束と微分は、大学の解析の定理（級数・一様収束）で保証されます。ここに図形は現れません。
• $\pi$ は $\cos$ の零点として定義します。円周の長さではありません。
• 幾何は最後です。弧の長さと面積の定義（積分）を決めて、そこから「弧の長さ $=\theta$」「扇形の面積 $=\theta/2$」を導きます。これらは定義でなく定理です。

高校で教わる直観的な説明（回転による加法定理、扇形による $\sin x/x\to1$）は、各所の「高校での説明」に残しますが、その説明は証明では使いません。

2. 使う既存の結果

この記事の証明は、次のものだけを使います。いずれも 微分積分学 などの記事で証明されています。

用途	結果
級数の収束	比判定法（定理 6.2［級数と収束判定］）、比較判定法（定理 4.2［級数と収束判定］）、ライプニッツの判定法（定理 7.3［級数と収束判定］）、絶対収束は収束（定理 7.2［級数と収束判定］）
一様収束と微分	M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）、項別微分（定理 7.3［関数列と一様収束］）
複素数の指数法則	補題 4.1［複素数と複素平面］
微分	積の法則・商の法則（定理 6.1［導関数の定義と基本的な微分法］）、連鎖律（定理 7.2［導関数の定義と基本的な微分法］）、逆関数の微分（命題 8.1［導関数の定義と基本的な微分法］）
平均値の定理	導関数の符号と単調性（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］）
連続関数	中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）
積分	微分積分学の基本定理（定理 5.4［積分の基本定理と定積分］）、重積分の変数変換（系 6.9［重積分と累次積分］）

表の中の二つの道具は、次の内容です（以下の証明で使う形での言い換えです）。M 判定法は、各項の絶対値が正の定数 $M_k$ 以下で、$\sum M_k$ が収束するなら、その関数の級数は一様収束する、というものです。項別微分は、各項を微分した関数の列が一様収束し、元の関数の列がどこか 1 点で収束するなら、極限の関数は微分可能で、その導関数は「各項を微分したものの極限」になる、というものです。つまり、無限に足す式でも、項ごとに微分してよい条件を与えます。

なお、微積分の記事 導関数の定義と基本的な微分法 の $\sin x/x\to1$ と三角関数・指数関数の導関数は、この記事の定理（定理 8.4、定理 6.2、定理 3.3）を引いて証明しています。記事どうしは互いに参照し合いますが、定理の単位で見ると、上の表の定理（項別微分・平均値の定理・中間値の定理・重積分の変数変換など）は三角関数・指数関数を使わずに証明されているので、循環はありません。

3. 指数関数

$x$ を実数とします。

定義 3.1（指数関数（べき級数による定義））↗

$$\exp x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

とする。この級数が収束することは 定理 3.3 (1) で示す。

先に、多項式の微分の準備を済ませておきます。

補題 3.2（単項式の導関数）✓

$k\ge1$ ならば $x\mapsto x^k$ は $\mathbb R$ 上微分可能で、導関数は $kx^{k-1}$（$k=1$ のとき $1$）である。

証明（補題 3.2）

$k=1$ のとき、$\dfrac{(x+h)-x}h=1$ なので微分係数の定義（定義 3.1［導関数の定義と基本的な微分法］）から導関数は $1$ です。$x^k$ の導関数が $kx^{k-1}$ であると仮定すると、積の法則（定理 6.1［導関数の定義と基本的な微分法］）より $(x^{k+1})'=(x^k\cdot x)'=kx^{k-1}\cdot x+x^k\cdot1=(k+1)x^k$ です。

∎

定理 3.3（指数関数の基本性質）✓

1. （収束）任意の実数 $x$ に対し、級数 $\sum x^k/k!$ は絶対収束する。さらに、任意の $R>0$ に対し、部分和 $P_N(x)=\sum_{k=0}^Nx^k/k!$ は $[-R,R]$ 上で $\exp$ に一様収束する。
2. （加法性）$\exp(x+y)=\exp x\cdot\exp y$、$\exp0=1$。
3. （微分）$\exp$ は $\mathbb R$ 上微分可能で $\exp'=\exp$。とくに連続である。
4. （単調性と値域）すべての $x$ で $\exp x>0$。$\exp$ は狭義単調増加で、$x\ge0$ では $\exp x\ge1+x$。値域は $(0,\infty)$ であり、$\exp:\mathbb R\to(0,\infty)$ は全単射である。

証明（定理 3.3）

(1) $x\ne0$ とします。項の絶対値の比は $\dfrac{|x|^{k+1}/(k+1)!}{|x|^k/k!}=\dfrac{|x|}{k+1}\to0$ なので、比判定法（定理 6.2［級数と収束判定］）により $\sum|x|^k/k!$ は収束します。$x=0$ は自明です。一様収束は、$M_k=R^k/k!$ とおくと $|x^k/k!|\le M_k$（$|x|\le R$）で、$\sum M_k$ が同じ理由で収束するので、M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）から従います。

(2) 複素数 $z$ に対する指数関数 $\exp z=\sum z^n/n!$（補題 4.1［複素数と複素平面］）は、$z$ が実数のとき上の級数と同じです。その指数法則 $\exp(z+w)=\exp z\exp w$ を実数に使えば (2) です。$\exp0=1$ は、$x=0$ で $k\ge1$ の項が $0$ だからです。

(3) $P_N$ は多項式で、補題 3.2 から $P_N'(x)=\sum_{k=1}^Nx^{k-1}/(k-1)!=P_{N-1}(x)$ です。$R>0$ を取ります。$[-R,R]$ 上で、$P_N(0)=1$ は収束し、導関数の列 $P_N'=P_{N-1}$ は (1) より $\exp$ に一様収束します。項別微分の定理（定理 7.3［関数列と一様収束］）により、$P_N$ の極限（$=\exp$）は $[-R,R]$ 上微分可能で導関数は $\exp$ です。任意の実数 $x$ に対し $R>|x|$ と取れば $x$ は $[-R,R]$ の内点なので、端点の片側微分係数を考える必要はなく、すべての点で $\exp'=\exp$ です。微分可能なら連続です（定理 3.4［導関数の定義と基本的な微分法］）。

(4) $x\ge0$ のとき級数の項はすべて $0$ 以上で、最初の 2 項で $\exp x\ge1+x\ge1>0$ です。$x<0$ のときは、(2) より $\exp x\cdot\exp(-x)=\exp0=1$ で、$\exp(-x)>0$ なので $\exp x=1/\exp(-x)>0$ です。(3) より $\exp'=\exp>0$ なので、導関数の符号と単調性（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）から狭義単調増加です。値域：$y>0$ を任意にとる。$\exp x\ge1+x$（$x\ge0$）から $\exp b>y$ となる $b>0$ が取れ、$\exp(-b')=1/\exp b'$ から $\exp(-b')<y$ となる $b'>0$ が取れます。中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）により $[-b',b]$ に $\exp x=y$ となる点があり、単調性から一意です。

∎

(2) は、「$e^{x+y}=e^xe^y$」という指数法則が、級数の定義から出る（コーシー積という計算を通して）ことを言っています。高校の定義では、まず $e^x$ の意味（$e$ の $x$ 乗）があって、指数法則が成り立つことが先にありました。ここでは順序が逆で、指数法則が成り立つ関数を級数で作ったのです。

$e$ との関係は、数列の記事で証明した $e=\sum_{k\ge0}1/k!$（定理 4.2［数列と関数の極限］）から、次のとおりです。

系 3.4（exp 1 = e）✓

$\exp1=e$、すなわち $\exp1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ である。

証明（系 3.4）

$\exp1=\sum_{k\ge0}1/k!$ は定義そのもので、これが $e$ に等しいことは 定理 4.2［数列と関数の極限］ です。

∎

4. 対数関数と一般の指数 $a^x$

$\exp:\mathbb R\to(0,\infty)$ は連続で狭義単調増加な全単射（定理 3.3 (4)）なので、逆関数があります。

定義 4.1（自然対数）↗

$\exp$ の逆関数 $\log:(0,\infty)\to\mathbb R$ を自然対数という（$\ln$ とも書く）。$\exp(\log y)=y$（$y>0$）、$\log(\exp x)=x$（$x\in\mathbb R$）である。

定理 4.2（自然対数の性質）✓

1. $\log1=0$、$\log e=1$。
2. $\log(yz)=\log y+\log z$（$y,z>0$）、$\log(y^n)=n\log y$（$n$ は整数）。
3. $\log$ は $(0,\infty)$ 上で連続かつ狭義単調増加。
4. $\log$ は微分可能で $\log'(y)=1/y$。

証明（定理 4.2）

(1) $\exp0=1$、$\exp1=e$（系 3.4）。(2) $u=\log y$、$v=\log z$ とすると、$yz=\exp u\exp v=\exp(u+v)$（定理 3.3 (2)）なので $\log(yz)=u+v$ です。整数 $n$ 乗は、これを繰り返して（$n<0$ は $\log(1/y)=-\log y$ から）従います。(3) 連続で狭義単調な関数の逆関数は連続で狭義単調（命題 8.1［導関数の定義と基本的な微分法］）。(4) 同じ命題より、$\log'(y)=1/\exp'(\log y)=1/\exp(\log y)=1/y$ です。

∎

数列の記事の指数の定義（有理数の指数からの極限による $a^x$）との関係は、次のとおりです。

定理 4.3（$a^x =$ exp(x log a)）✓

任意の $a>0$、実数 $x$ に対し、$a^x$（定義 3.3［指数関数と対数関数］）は $\exp(x\log a)$ に等しい。

証明（定理 4.3）

有理数の指数。 $r=p/q$（$p$ は整数、$q$ は正の整数）とします。$\exp(r\log a)$ は正で、その $q$ 乗は、定理 3.3 (2) を繰り返し使って $\exp(qr\log a)=\exp(p\log a)=\bigl(\exp(\log a)\bigr)^p=a^p$ です。一方、$a^r=(a^{1/q})^p$ も正で、$q$ 乗すると $a^p$ です。正の $q$ 乗根は一意（定理 2.2［指数関数と対数関数］）なので $\exp(r\log a)=a^r$ です。

実数の指数。 有理数列 $r_n\to x$ を取ります。$a^{r_n}\to a^x$（定理 3.4［指数関数と対数関数］ (2)）です。他方、$\exp$ は連続（定理 3.3 (3)）なので、$\exp(r_n\log a)\to\exp(x\log a)$（命題 5.5［数列と関数の極限］ (1)）です。有理数では両者が等しいので、極限の一意性（命題 2.2［数列と関数の極限］ (2)）から $a^x=\exp(x\log a)$ です。

∎

とくに $a=e$ とすると $e^x=\exp(x\log e)=\exp x$ です。これで、高校の「$e$ の $x$ 乗」と、級数で定義した $\exp x$ が同じ関数であることがわかりました。高校の教科書が「$e^x$」と書くのは、これを前提にしているのです。

5. $1^\infty$ 型の極限

$\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$ の一般化として、次の定理が成り立ちます。これは入試で「$1^\infty$ 型の極限」と呼ばれる形です。

定理 5.1（$1^∞$ 型の極限）✓

数列 $(a_n)$ は $a_n>-1$ かつ $a_n\to0$ を満たし、実数列 $(b_n)$ について $a_nb_n\to c$（$c\in\mathbb R$）とする。このとき

$$(1+a_n)^{b_n}\to\exp c$$

である。（左辺は $\exp(b_n\log(1+a_n))$ であり、定理 4.3 により $(1+a_n)^{b_n}$ と同じ。）

証明（定理 5.1）

$q_n=\dfrac{\log(1+a_n)}{a_n}$（$a_n\ne0$）、$q_n=1$（$a_n=0$）とおきます。$\log$ は $1$ で微分可能で $\log'(1)=1$（定理 4.2 (4)）、$\log1=0$ なので、$\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ が取れて、$0<|h|<\delta$ ならば $\left|\dfrac{\log(1+h)}h-1\right|<\varepsilon$ です。$a_n\to0$ なので十分大きい $n$ で $|a_n|<\delta$ となり、$a_n\ne0$ なら $|q_n-1|<\varepsilon$、$a_n=0$ なら $|q_n-1|=0$ です。したがって $q_n\to1$ です。

$b_n\log(1+a_n)=(a_nb_n)\,q_n\to c\cdot1=c$（命題 2.2［数列と関数の極限］ (3)）です。$\exp$ は連続なので、命題 5.5［数列と関数の極限］ (1) から $\exp\bigl(b_n\log(1+a_n)\bigr)\to\exp c$ です。

∎

定理 5.2（exp x = lim (1 $+ x/n)^n$）✓

任意の実数 $x$ に対し $\exp x=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$ である。

証明（定理 5.2）

定理 5.1 を $a_n=x/n$、$b_n=n$ に使います（$n$ が十分大きければ $a_n>-1$ で、有限個の項は極限に影響しない）。$a_nb_n=x\to x$ です。

∎

とくに $x=1$ とすれば、数列の記事で定義した $e=\lim(1+1/n)^n$ が $\exp1$ であることの、独立な別証明になります。

例 5.3（複利の極限）

元金 $1$、年利 $r$、年 $n$ 回の複利で $1$ 年後の元利合計は $\left(1+\dfrac rn\right)^n$ です。定理 5.2 から、$n\to\infty$（連続複利）の極限は $\exp r=e^r$ です。年利 $100\%$ で $e\approx2.718$ 倍、年利 $10\%$ で $e^{0.1}\approx1.1052$ 倍（年 1 回の複利の $1.1$ 倍より少し多い）になります。

6. 余弦と正弦

実数 $x$ に対し、次のように定義します。ここにも図形は現れません。

定義 6.1（余弦・正弦（べき級数による定義））↗

$$\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\qquad\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

とする。収束は 定理 6.2 (1) で示す。

定理 6.2（cos・sin の収束・対称性・導関数）✓

1. （収束）二つの級数は任意の実数 $x$ で絶対収束し、任意の $R>0$ に対して部分和は $[-R,R]$ 上で一様収束する。
2. $\cos0=1$、$\sin0=0$、$\cos(-x)=\cos x$、$\sin(-x)=-\sin x$。
3. $\cos,\sin$ は $\mathbb R$ 上微分可能で、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$。とくに連続である。

証明（定理 6.2）

(1) $\cos$ の級数の項の絶対値 $|x|^{2k}/(2k)!$ の部分和は、$\exp|x|=\sum|x|^n/n!$ の部分和以下なので（項を一部だけ取っている）、上に有界な単調増加数列です。単調有界定理（定理 2.1［級数と収束判定］）により収束し、絶対収束が出ます。$\sin$ も同様です。$R>0$ に対し $M_k=R^{2k}/(2k)!$、$M_k'=R^{2k+1}/(2k+1)!$ とおくと、$\sum M_k$、$\sum M_k'$ も同じ理由で収束するので、M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）から一様収束が出ます。

(2) $x=0$ では、$\cos$ の級数は $k=0$ の項 $1$ だけが残り、$\sin$ の級数はすべての項が $0$ です。また $(-x)^{2k}=x^{2k}$、$(-x)^{2k+1}=-x^{2k+1}$ なので、部分和の段階で $C_N(-x)=C_N(x)$、$S_N(-x)=-S_N(x)$（$C_N,S_N$ は下の (3) の部分和）が成り立ち、$N\to\infty$ とすれば対称性が出ます。

(3) 部分和を $C_N(x)=\sum_{k=0}^N\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$、$S_N(x)=\sum_{k=0}^N\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$ とします。補題 3.2 により

$$S_N'(x)=\sum_{k=0}^N\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}=C_N(x),\qquad C_N'(x)=\sum_{k=1}^N\frac{(-1)^kx^{2k-1}}{(2k-1)!}=-S_{N-1}(x)$$

です。$[-R,R]$ 上で、$S_N'=C_N\to\cos$（一様）、$S_N(0)=0$ は収束するので、項別微分（定理 7.3［関数列と一様収束］）から $\sin'=\cos$ です。同様に $C_N'=-S_{N-1}\to-\sin$（一様）、$C_N(0)=1$ なので $\cos'=-\sin$ です。(1) より極限は $\cos,\sin$ そのものです。$R>|x|$ と取れば $x$ は内点なので、すべての実数 $x$ で成り立ちます。

∎

6.1. オイラーの公式と加法定理

複素数 $z$ に対する $\exp z=\sum z^n/n!$ を使います。実数 $x$ に対して $\exp(ix)$ を級数で眺めると、偶数次の項は実数、奇数次の項は純虚数になります。

次の補題のねらいは、$\exp$ の級数の偶数次の項（実数）と奇数次の項（虚数単位 $i$ がつく）を分けると、ちょうど $\cos$ と $\sin$ の級数になる、と確かめることです。これで $\exp$ の指数法則から加法定理が取り出せます。

補題 6.3（exp(ix) = cos x + i sin x）✓

任意の実数 $x$ に対し $\exp(ix)=\cos x+i\sin x$ である。

証明（補題 6.3）

$T_M=\sum_{n=0}^M(ix)^n/n!$ とおきます。$i^{2k}=(-1)^k$、$i^{2k+1}=(-1)^ki$ なので $T_{2N+1}=C_N(x)+iS_N(x)$ です（$C_N,S_N$ は 定理 6.2 の証明の部分和）。$N\to\infty$ のとき、$T_{2N+1}$ は収束数列 $(T_M)$ の部分列なので $\exp(ix)$ に収束し、$C_N(x)\to\cos x$、$S_N(x)\to\sin x$ です。複素数 $w$ について $|\mathrm{Re}\,w|\le|w|$、$|\mathrm{Im}\,w|\le|w|$ なので、収束する複素数の列は実部と虚部がそれぞれ極限の実部・虚部に収束します。したがって $\mathrm{Re}\,T_{2N+1}=C_N(x)$ は $\mathrm{Re}\exp(ix)$ と $\cos x$ の両方に収束し、虚部も同様なので、極限の一意性（命題 2.2［数列と関数の極限］ (2)）から $\exp(ix)=\cos x+i\sin x$ です。

∎

定理 6.4（加法定理）✓

任意の実数 $x,y$ に対し

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\qquad\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y.$$

証明（定理 6.4）

複素数の指数法則（補題 4.1［複素数と複素平面］）より $\exp(i(x+y))=\exp(ix)\exp(iy)$ です。補題 6.3 を左辺と右辺の各因子に使うと

$$\cos(x+y)+i\sin(x+y)=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y)$$

です。両辺の実部どうし、虚部どうしを比べれば主張を得ます（$\cos,\sin$ は実数値なので、実部・虚部が読み取れる）。

∎

定理 6.5（cos² + sin² = 1）✓

任意の実数 $x$ に対し $\cos^2x+\sin^2x=1$ である。とくに $|\cos x|\le1$、$|\sin x|\le1$。

証明（定理 6.5）

定理 6.4 で $y=-x$ とすると、定理 6.2 (2) の対称性から $\cos0=\cos x\cos(-x)-\sin x\sin(-x)=\cos^2x+\sin^2x$ です。$\cos0=1$ です。

∎

高校での説明

高校では、加法定理を「点 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ を原点のまわりに $\beta$ だけ回転させると $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$ になる」という図形的な理由で説明します。回転が角度の足し算に対応するのは直観的に自然ですが、「回転」や「角」が何であるかを先に決めておかないと証明になりません。ここでは、指数法則 $\exp(i(x+y))=\exp(ix)\exp(iy)$ という代数的な性質が、角の加法定理の正体だったことになります。

7. $\pi$ の定義・周期性・単位円の媒介変数表示

7.1. $\cos$ の最初の零点

$\pi$ を「$\cos$ の最小の正の零点の 2 倍」と定義するには、まずそのような零点があることを示さなければなりません。$\cos0=1>0$ なので、どこかで $\cos$ が負になれば、連続関数が途中で $0$ を通ることから零点が見つかります。そこで次の補題では、具体的な値 $x=2$ で $\cos2<0$ となることを、交代級数の誤差評価で確かめます（$2$ は、評価が簡単に済む手頃な値として選んでいます）。

補題 7.1（cos の最小の正の零点）✓

1. $0<x\le2$ ならば $\sin x>0$ である。また $\cos2<0$ である。
2. $\cos x=0$ を満たす最小の正の数 $c$ が存在し、$0<c<2$ である。$0\le x<c$ で $\cos x>0$ であり、$\sin c=1$。

証明（補題 7.1）

(1) $0<x\le2$ とし、$c_j=x^{2j+1}/(2j+1)!$ とおくと $\sin x=c_0-c_1+c_2-c_3+\cdots$ です。$\dfrac{c_{j+1}}{c_j}=\dfrac{x^2}{(2j+2)(2j+3)}\le\dfrac46<1$ なので $(c_j)$ は正で単調に減少し、$0$ に収束します。ライプニッツの判定法（定理 7.3［級数と収束判定］）を $c_2-c_3+c_4-\cdots$（和を $\sigma$ とおく）に使うと、$|\sigma-c_2|\le c_3$ なので $\sigma\ge c_2-c_3\ge0$ です。よって $\sin x=c_0-c_1+\sigma\ge x-\dfrac{x^3}6=x\left(1-\dfrac{x^2}6\right)\ge x\cdot\dfrac13>0$ です。

$\cos2=1-\sum_{k\ge1}(-1)^{k-1}b_k$（$b_k=2^{2k}/(2k)!$）です。$b_1=2$、$b_2=\dfrac23$、$b_3=\dfrac4{45}$ で、$\dfrac{b_{k+1}}{b_k}=\dfrac4{(2k+1)(2k+2)}\le\dfrac13$ ($k\ge1$) なので単調減少です。ライプニッツの判定法（定理 7.3［級数と収束判定］）で、和 $T=\sum_{k\ge1}(-1)^{k-1}b_k$ は $|T-(b_1-b_2)|\le b_3$ を満たし、$T\ge\dfrac43-\dfrac4{45}=\dfrac{56}{45}$ です。したがって $\cos2=1-T\le-\dfrac{11}{45}<0$ です。

(2) $\cos0=1>0>\cos2$ で $\cos$ は連続なので、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）から $Z=\{x\in[0,2]:\cos x=0\}$ は空でありません。$Z$ は下に有界なので下限 $c=\inf Z$ が存在します（定理 4.2［実数の完備性とコーシー列］）。$Z$ の元からなる列 $z_n\to c$ を取れば、$\cos c=\lim\cos z_n=0$（連続性。命題 5.5［数列と関数の極限］）で、$c\in[0,2]$ です。$\cos0=1\ne0$ なので $c>0$、また $\cos2\ne0$ なので $c<2$ です。$0\le x<c$ で $\cos x\le0$ となる $x$ があれば、$\cos0>0$ との間に中間値の定理で零点が $[0,x]$ にあり、$c$ の最小性に反します。最後に、(1) より $\sin c>0$ で、$\sin^2c=1-\cos^2c=1$（定理 6.5）なので $\sin c=1$ です。

∎

定義 7.2（円周率 π）↗

補題 7.1 の $c$（$\cos$ の最小の正の零点）に対し、$\pi=2c$ と定める。すなわち $\pi/2$ は $\cos x=0$ を満たす最小の正の数である。

これが $\pi$ の定義です。円の周の長さでも直径に対する円周の比でもなく、$\cos$ の零点です。この $\pi$ が、円周の長さ（$2\pi$）や円の面積と結びつくことは §8 で証明します。$0<\pi/2<2$ なので $0<\pi<4$ です。

7.2. 周期性と単位円

定理 7.3（周期性と基本的な対称性）✓

1. 任意の実数 $x$ に対し $\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)=-\sin x$、$\sin\left(x+\dfrac\pi2\right)=\cos x$。
2. $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$。任意の $x$ に対し $\cos(x+\pi)=-\cos x$、$\sin(x+\pi)=-\sin x$、$\cos(x+2\pi)=\cos x$、$\sin(x+2\pi)=\sin x$。
3. $[0,\pi/2]$ で $\cos$ は $1$ から $0$ へ連続に狭義単調減少し、$\sin$ は $0$ から $1$ へ狭義単調増加する。$\cos>0$ は $[0,\pi/2)$ で、$\sin>0$ は $(0,\pi/2]$ で成り立つ。また $[\pi/2,\pi]$ で $\cos x=-\sin(x-\pi/2)\in[-1,0]$、$\sin x=\cos(x-\pi/2)\ge0$ である。

証明（定理 7.3）

(1) 定理 6.4 に $y=\pi/2$ を代入し、$\cos(\pi/2)=0$、$\sin(\pi/2)=1$（補題 7.1）を使います。

(2) (1) を 2 回使うと $\cos(x+\pi)=-\sin(x+\pi/2)=-\cos x$、$\sin(x+\pi)=\cos(x+\pi/2)=-\sin x$ です。$x=0$ として $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$。さらにもう 1 回使えば周期 $2\pi$ です。

(3) $0<x\le\pi/2$ で $\sin x>0$（$\pi/2<2$ と 補題 7.1 (1)）なので、$(\cos x)'=-\sin x<0$ です。導関数の符号と単調性（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）から、$[0,\pi/2]$ で $\cos$ は狭義単調減少で、$\cos0=1$、$\cos(\pi/2)=0$ です。$\cos>0$（$[0,\pi/2)$）は 補題 7.1 (2) で、$(\sin x)'=\cos x>0$（$0\le x<\pi/2$）から $\sin$ は狭義単調増加、$\sin0=0$、$\sin(\pi/2)=1$ です。$x\in[\pi/2,\pi]$ では (1) より $\cos x=-\sin(x-\pi/2)$、$\sin x=\cos(x-\pi/2)$ で、$x-\pi/2\in[0,\pi/2]$ だから値の範囲が従います。

∎

次の定理で示したいのは、「角 $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと、点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ が単位円を過不足なくちょうど 1 周する」ことです。証明の方針は、円を四つの部分 $Q_0,\dots,Q_3$ に分け、$\pi/2$ ずつ進むと次の部分に移ること（$90^\circ$ 回転）を使って、最初の $1/4$ 周の場合に帰着させる、というものです。

定理 7.4（単位円の媒介変数表示）✓

写像 $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ は、区間 $[0,2\pi)$ から単位円 $S^1=\{(a,b)\in\mathbb R^2:a^2+b^2=1\}$ への全単射である（像が単位円に入ることは 定理 6.5）。

証明（定理 7.4）

単位円を 4 つの部分に分けます。

$$\begin{aligned} Q_0&=\{a>0,\ b\ge0\},& Q_1&=\{a\le0,\ b>0\},\\ Q_2&=\{a<0,\ b\le0\},& Q_3&=\{a\ge0,\ b<0\} \end{aligned}$$

（各集合は単位円上の点 $(a,b)$ の条件）。単位円上の点は符号の組合せで、ちょうど 1 つの $Q_k$ に入ります。$\rho(a,b)=(-b,a)$ を「$90^\circ$ 回転」と呼ぶと、$\rho$ は単位円から単位円への全単射で、$\rho(Q_0)=Q_1$、$\rho(Q_1)=Q_2$、$\rho(Q_2)=Q_3$、$\rho(Q_3)=Q_0$ です。実際、たとえば $(a,b)\in Q_0$（$a>0$、$b\ge0$）なら $\rho(a,b)=(-b,a)$ は $-b\le0$、$a>0$ で $Q_1$ に入り、他の 3 つも同じく符号を確かめれば $\rho(Q_k)\subseteq Q_{k+1}$（添字は $4$ を法とする）がわかります。逆写像 $\rho^{-1}(a,b)=(b,-a)$ についても同様に $\rho^{-1}(Q_{k+1})\subseteq Q_k$ なので、等号が成り立ちます。また 定理 7.3 (1) より $(\cos(\theta+\pi/2),\sin(\theta+\pi/2))=\rho(\cos\theta,\sin\theta)$ です。

$[0,\pi/2)$ から $Q_0$ への全単射。 $\theta\in[0,\pi/2)$ なら $\cos\theta>0$、$\sin\theta\ge0$ で像は $Q_0$ に入ります（定理 7.3 (3)）。単射性は $\cos$ が $[0,\pi/2]$ で狭義単調であることから。全射性：$(a,b)\in Q_0$ とすると $a\in(0,1]$ で、$\cos$ は $[0,\pi/2]$ から $[0,1]$ への連続な狭義単調減少の全単射なので $\cos\theta=a$ となる $\theta\in[0,\pi/2]$ があり、$a>0$ より $\theta<\pi/2$ です。このとき $\sin\theta\ge0$ かつ $\sin^2\theta=1-a^2=b^2$ なので $\sin\theta=b$（$b\ge0$）です。

一般の $\theta$。 $\theta\in[k\pi/2,(k+1)\pi/2)$（$k=0,1,2,3$）を $\theta=\theta_0+k\pi/2$（$\theta_0\in[0,\pi/2)$）と書くと、$(\cos\theta,\sin\theta)=\rho^k(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ で、$\rho^k$ は $Q_0$ から $Q_k$ への全単射です。したがって各区間 $[k\pi/2,(k+1)\pi/2)$ は $Q_k$ に全単射に写り、$Q_0,\dots,Q_3$ は単位円を分割するので、これらを合わせて $[0,2\pi)$ から単位円への全単射を得ます。

∎

これで、「角 $\theta$ に対応する単位円上の点」が、高校の定義と同じ意味で定まりました。しかも $\pi$ は円周と無関係に $\cos$ の零点として定義したのに、$2\pi$ ちょうどで 1 周する、つまり**周期が $2\pi$**になっています。

8. 幾何への接続：弧の長さと扇形の面積

ここで初めて、曲線の長さと面積を積分で定義します。面積は重積分（定義 5.1［重積分と累次積分］）で定めたものです。

定義 8.1（曲線の長さ）↗

$\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb R^2$、$\gamma(t)=(x(t),y(t))$ を $C^1$ 級の曲線（$x,y$ が微分可能で $x',y'$ が連続）とする。その長さを

$$L(\gamma)=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$$

で定義する。

この定義は、「曲線を細かい折れ線で近似して、折れ線の長さを足す」という素朴な考えの極限として自然に出てくるものです（折れ線の 1 辺は $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx\sqrt{x'^2+y'^2}\,\Delta t$）。

定理 8.2（単位円の弧の長さ = θ）✓

$0\le\theta\le2\pi$ とする。曲線 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le\theta$）の長さは $\theta$ である。とくに $\theta=2\pi$ のとき、単位円周の長さは $2\pi$ である。

証明（定理 8.2）

$\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)$（定理 6.2 (3)）で、$\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1$（定理 6.5）なので、定義 8.1 より $L(\gamma)=\int_0^\theta1\,dt=\theta$ です（定理 5.4［積分の基本定理と定積分］ を $F(t)=t$ に使う）。$\gamma$ が単位円の弧をちょうど 1 回なぞることは 定理 7.4 からわかります。

∎

これが「弧度法」の正当化です。角 $\theta$ を「単位円の弧の長さ」として測ると決めたとき、その角に対応する点は $(\cos\theta,\sin\theta)$ であって、$\cos,\sin$ は級数で定義した関数である、という整合性が、定義ではなく定理として示されました。

この命題の証明の方針は、扇形の点を、中心からの距離 $r$ と角 $t$ で表す「極座標」の変数変換で、長方形 $[0,1]\times[0,\theta]$ の積分に置き換えることです。このとき面積が $r$ 倍になる（ヤコビ行列式が $r$ になる）ことが計算の要で、あとは $\int_0^1r\,dr=\tfrac12$ に $\theta$ をかけるだけです。証明の前半は、この変数変換が使える条件（単射であること）の確認にあたります。

命題 8.3（扇形の面積 = θ/2）✓

$0<\theta\le2\pi$ とし、$D_\theta=\{(r\cos t,r\sin t):\ 0\le r\le1,\ 0\le t\le\theta\}$（半径 $1$、中心角 $\theta$ の扇形）とする。$D_\theta$ は面積確定で、その面積は $\theta/2$ である。とくに $\theta=2\pi$ のとき単位円板の面積は $\pi$ である。

証明（命題 8.3）

$\Phi(r,t)=(r\cos t,r\sin t)$ は $\mathbb R^2$ 上の $C^1$ 級写像で、ヤコビ行列式は $\det J_\Phi=\cos t\cdot r\cos t-(-r\sin t)\sin t=r$ です（定理 6.2 (3) と 定理 6.5）。$E=[0,1]\times[0,\theta]$、$Z=\partial E$（長方形の周、面積 $0$）とします。$\mathrm{int}E\setminus Z=(0,1)\times(0,\theta)$ で $\Phi$ が単射であることを示します。$\Phi(r,t)=\Phi(r',t')$ とすると、両辺の成分の 2 乗和から $r^2=r'^2$、$r,r'>0$ なので $r=r'$ です（定理 6.5）。したがって $(\cos t,\sin t)=(\cos t',\sin t')$ で、$t,t'\in(0,\theta)\subseteq(0,2\pi)$ なので $t=t'$ です（定理 7.4）。そこで $\det J_\Phi=r>0$ とあわせて、変数変換公式（系 6.9［重積分と累次積分］）が使えて、$D_\theta=\Phi(E)$ は面積確定で

$$|D_\theta|=\iint_E r\,dr\,dt=\int_0^\theta\left(\int_0^1r\,dr\right)dt=\int_0^\theta\frac12\,dt=\frac\theta2$$

です（累次積分は長方形の場合の縦線集合の定理 定理 5.6［重積分と累次積分］ による）。

∎

$\theta=2\pi$ とすると、単位円板の面積は $\pi$、円周の長さは $2\pi$ です。級数で定義した $\pi$ が、確かに円周率になっています。

定理 8.4（sin x / x の極限）✓

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$、$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}x=0$ である。

証明（定理 8.4）

微分係数の定義（定義 3.1［導関数の定義と基本的な微分法］）により、$\sin'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h-\sin0}h=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h$ です。定理 6.2 (3) より $\sin'(0)=\cos0=1$ です。同様に $\cos'(0)=-\sin0=0$ で、$\lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}h=0$ です。

∎

高校での説明

高校で $\sin x/x\to1$ を示すときは、$0<x<\pi/2$ で「$\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $<$ 扇形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $<\triangle\mathrm{OAT}$ の面積」すなわち $\dfrac{\sin x}2<\dfrac x2<\dfrac{\tan x}2$ を使い、$\cos x<\dfrac{\sin x}x<1$ とはさみうちにします。ここで扇形の面積が $x/2$ であることは、命題 8.3 によって今や定理です。三角形の面積や「三角形が扇形に含まれる」といった図形の包含も重積分で確かめられるので、この記事の定義の下では、高校のはさみうちの議論も正しい議論に組み直せます。ただしこの記事の 定理 8.4 の証明は、それを使わずに導関数の定義から出ています。

9. 逆三角関数

補題 9.1（三角関数の制限は全単射）✓

1. $\sin$ は $[-\pi/2,\pi/2]$ から $[-1,1]$ への連続な狭義単調増加の全単射である。
2. $\cos$ は $[0,\pi]$ から $[-1,1]$ への連続な狭義単調減少の全単射である。
3. $-\pi/2<x<\pi/2$ で $\cos x>0$ なので $\tan x=\sin x/\cos x$ が定義でき、$\tan$ は $(-\pi/2,\pi/2)$ から $\mathbb R$ への連続な狭義単調増加の全単射で、$\tan'x=1/\cos^2x=1+\tan^2x$ である。

証明（補題 9.1）

(1) $[0,\pi/2]$ で $\sin$ は $0$ から $1$ へ狭義単調増加（定理 7.3 (3)）で、$\sin$ は奇関数なので $[-\pi/2,0]$ では $-1$ から $0$ へ狭義単調増加です。つなげれば $[-\pi/2,\pi/2]$ で $-1$ から $1$ へ狭義単調増加で、連続なので中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）により全射です。(2) $[0,\pi/2]$ で $\cos$ は $1$ から $0$ へ、$[\pi/2,\pi]$ で $\cos x=-\sin(x-\pi/2)$ は $0$ から $-1$ へ狭義単調減少です（定理 7.3 (1)(3)）。つなげれば $[0,\pi]$ で $1$ から $-1$ へ狭義単調減少で、連続なので中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）により全射です。

(3) $\cos$ は偶関数で $[0,\pi/2)$ で正なので、$(-\pi/2,\pi/2)$ で正です。商の法則（定理 6.1［導関数の定義と基本的な微分法］）から $\tan'=\dfrac{\cos^2+\sin^2}{\cos^2}=\dfrac1{\cos^2}=1+\tan^2>0$ で、狭義単調増加です（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］）。全射性を示します。$y>0$ を任意にとり、$\sin(\pi/2)=1$、$\cos(\pi/2)=0$ と連続性から、$\pi/2$ に十分近い $x_0<\pi/2$ で $\sin x_0>1/2$ かつ $0<\cos x_0<\dfrac1{2(y+1)}$ となるものが取れます。このとき $\tan x_0>y+1>y$ で、$\tan0=0<y$ なので、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）から $\tan x=y$ となる $x\in(0,x_0)$ があります。$y<0$ は奇関数性から、$y=0$ は $x=0$ です。

∎

定義 9.2（逆三角関数）↗

上の補題の逆関数を、それぞれ $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$、$\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$、$\arctan:\mathbb R\to(-\pi/2,\pi/2)$ と書く。$\arcsin x$ は「$\sin\theta=x$ となる $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$」、$\arccos x$ は「$\cos\theta=x$ となる $\theta\in[0,\pi]$」、$\arctan x$ は「$\tan\theta=x$ となる $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$」である。

定理 9.3（逆三角関数の導関数）✓

$$(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\quad(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\quad(-1<x<1),\qquad(\arctan x)'=\frac1{1+x^2}\quad(x\in\mathbb R).$$

証明（定理 9.3）

逆関数の微分法（命題 8.1［導関数の定義と基本的な微分法］）を使います。$|x|<1$ で $\theta=\arcsin x\in(-\pi/2,\pi/2)$ とすると、$\cos\theta>0$ かつ $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-x^2$ なので $\cos\theta=\sqrt{1-x^2}$ で、$(\arcsin x)'=1/\cos\theta=1/\sqrt{1-x^2}$ です。$\arccos$ は、$\theta=\arccos x\in(0,\pi)$ で $\sin\theta>0$（定理 7.3 (3) と 補題 7.1）、$\sin\theta=\sqrt{1-x^2}$ なので $(\arccos x)'=1/(-\sin\theta)=-1/\sqrt{1-x^2}$ です。$\arctan$ は、$\theta=\arctan x$ のとき $(\arctan x)'=1/\tan'\theta=1/(1+\tan^2\theta)=1/(1+x^2)$ です（補題 9.1 (3)）。

∎

10. $\arctan$ の加法定理と $\pi$ の評価

命題 10.1（arctan の加法定理）✓

$x,y$ が実数で $xy<1$ ならば

$$\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}$$

である。$\arctan$ は奇関数なので、$xy>-1$ のとき $\arctan x-\arctan y=\arctan\dfrac{x-y}{1+xy}$ も成り立つ。

証明（命題 10.1）

$\alpha=\arctan x$、$\beta=\arctan y\in(-\pi/2,\pi/2)$ とすると $\cos\alpha,\cos\beta>0$、$\sin\alpha=x\cos\alpha$、$\sin\beta=y\cos\beta$ です。加法定理（定理 6.4）から

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\,(1-xy)>0,\qquad\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\,(x+y)$$

です。$\alpha+\beta\in(-\pi,\pi)$ で、$[\pi/2,\pi)$ では $\cos\le0$（定理 7.3 (3)）、$\cos$ は偶関数なので、$\cos(\alpha+\beta)>0$ から $\alpha+\beta\in(-\pi/2,\pi/2)$ です。そこで $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{x+y}{1-xy}$ で、$\arctan$ の定義から $\alpha+\beta=\arctan\dfrac{x+y}{1-xy}$ です。差の公式は $y$ を $-y$ に置き換えます。

∎

命題 10.2（arctan のべき級数）✓

$|x|<1$ ならば $\displaystyle\arctan x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}$ である。

証明（命題 10.2）

$0<\rho<1$ とし、$G_N(x)=\sum_{k=0}^N\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}$ とおきます。$|x|\le\rho$ では級数は絶対収束するので（$\sum\rho^{2k+1}$ との比較。定理 4.2［級数と収束判定］）、極限関数 $g(x)=\lim G_N(x)$ が定まります。$G_N'(x)=\sum_{k=0}^N(-x^2)^k=\dfrac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}$（等比数列の和）で、

$$\left|G_N'(x)-\frac1{1+x^2}\right|=\frac{x^{2N+2}}{1+x^2}\le\rho^{2N+2}\to0$$

は $[-\rho,\rho]$ 上で一様です（命題 3.1［数列と関数の極限］）。項別微分（定理 7.3［関数列と一様収束］）から $g$ は微分可能で $g'(x)=\dfrac1{1+x^2}$ です。定理 9.3 より $(g-\arctan)'=0$ なので、導関数が $0$ の関数は定数（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (1)）、すなわち $g-\arctan$ は $(-\rho,\rho)$ 上で定数です。$g(0)=0=\arctan0$ なので定数は $0$ で、$\rho<1$ は任意です。

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系 10.3（Machin の公式）✓

$$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$$

である。

証明（系 10.3）

まず $\arctan1=\pi/4$ を示します。定理 6.4 で $x=y=\pi/4$ とすると $0=\cos\frac\pi2=\cos^2\frac\pi4-\sin^2\frac\pi4$ で、$\frac\pi4\in(0,\frac\pi2)$ では $\cos,\sin>0$ なので $\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4$ 、すなわち $\tan\frac\pi4=1$ です。

命題 10.1 を繰り返します。$x=y=\frac15$ で $xy<1$ なので $2\arctan\frac15=\arctan\dfrac{2/5}{24/25}=\arctan\frac5{12}$。さらに $x=y=\frac5{12}$ で $4\arctan\frac15=\arctan\dfrac{5/6}{119/144}=\arctan\frac{120}{119}$ です。次に差の公式で

$$\arctan\frac{120}{119}-\arctan\frac1{239}=\arctan\frac{\frac{120}{119}-\frac1{239}}{1+\frac{120}{119\cdot239}}=\arctan\frac{28561/28441}{28561/28441}=\arctan1=\frac\pi4$$

です（$120\cdot239-119=28561$、$119\cdot239+120=28561$）。

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定理 10.4（π の評価）✓

$3.1415926<\pi<3.1415928$ である。

証明（定理 10.4）

系 10.3 から $\pi=16\arctan\frac15-4\arctan\frac1{239}$ です。$A=\arctan\frac15$、$B=\arctan\frac1{239}$ とおくと、命題 10.2 により、それぞれ項の絶対値が単調に減少して $0$ に収束する交項級数 $\sum(-1)^k\dfrac1{(2k+1)5^{2k+1}}$、$\sum(-1)^k\dfrac1{(2k+1)239^{2k+1}}$ です。ライプニッツの判定法（定理 7.3［級数と収束判定］）の剰余評価 $|S-S_N|\le b_{N+1}$ を使います。

$A$ の最初の 5 項の和は $\frac15-\frac1{375}+\frac1{15625}-\frac1{546875}+\frac1{17578125}=0.19739556165\cdots$ で、次の項は $\dfrac1{11\cdot5^{11}}<2\times10^{-9}$ なので $0.1973955596<A<0.1973955637$ です（5 項目は正の項なので、$A$ は 5 項の和から次の項を引いた値と 5 項の和の間にある）。$B$ の最初の 2 項の和は $\frac1{239}-\frac1{3\cdot239^3}=0.004184076002\cdots$ で、次の項は $\dfrac1{5\cdot239^5}<3\times10^{-13}$ なので $0.0041840759<B<0.0041840761$ です。したがって

$$\pi>16\cdot0.1973955596-4\cdot0.0041840761=3.1415926492\cdots,\qquad\pi<16\cdot0.1973955637-4\cdot0.0041840759=3.1415927156\cdots$$

で、$3.1415926<\pi<3.1415928$ です。

∎

古典的な方法

円周率の評価として有名なのは、Archimedes が円に内接・外接する正 96 角形の周の長さで $3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17$ を示した方法です。この方法は、円周の長さを折れ線（正多角形）で挟むという幾何的な議論に基づきます。この記事で $\pi$ を $\cos$ の零点として定義した後は、定理 8.2 により円周の長さが $2\pi$ であることがわかるので、Archimedes の議論を正当化する足場ができます（内接・外接する多角形の周の長さが円周の長さを挟むことは、定義 8.1 の積分を評価して別に示す必要があります）。上の Machin の公式（1706 年、Machin による）は、$\arctan$ の級数が速く収束するという解析的な方法で、数桁を一気に稼げる方法です。

11. 双曲線関数

指数関数から、三角関数に似た 2 つの関数が作れます。

定義 11.1（双曲線関数）↗

$$\cosh x=\frac{\exp x+\exp(-x)}2,\qquad\sinh x=\frac{\exp x-\exp(-x)}2$$

とする。

命題 11.2（双曲線関数の恒等式と媒介変数表示）✓

1. $\cosh^2x-\sinh^2x=1$。$\cosh$ は偶関数、$\sinh$ は奇関数。
2. $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$、$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$。
3. $(\cosh x)'=\sinh x$、$(\sinh x)'=\cosh x$。
4. 双曲線 $a^2-b^2=1$ の右半分 $\{(a,b):a>0,\ a^2-b^2=1\}$ の点は、$(\cosh t,\sinh t)$（$t\in\mathbb R$）の形にただ 1 通りに書ける。

証明（命題 11.2）

$e^x$ は $\exp x$ の略記とし、$\exp x\exp(-x)=1$（定理 3.3 (2)）を使います。

(1) $4(\cosh^2x-\sinh^2x)=(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2=4e^xe^{-x}=4$ です。偶奇は定義から。(2) $\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y=\frac14\bigl[(e^x+e^{-x})(e^y+e^{-y})+(e^x-e^{-x})(e^y-e^{-y})\bigr]=\frac12\bigl(e^{x+y}+e^{-x-y}\bigr)=\cosh(x+y)$。$\sinh$ も同様に展開します。(3) $\exp'=\exp$（定理 3.3 (3)）と連鎖律（定理 7.2［導関数の定義と基本的な微分法］）から $(\exp(-x))'=-\exp(-x)$ なので、定義の式を微分して従います。

(4) (1) から $\cosh^2=1+\sinh^2\ge1$ で $\cosh>0$ です。(3) より $\sinh'=\cosh>0$ なので $\sinh$ は狭義単調増加です。$x\ge0$ で $\exp x\ge1+x$、$\exp(-x)\le1$ なので $\sinh x\ge x/2\to\infty$ で、奇関数性とあわせて $\sinh$ は $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への連続な狭義単調増加の全単射です（定理 3.4［導関数の定義と基本的な微分法］ と中間値の定理 定理 5.7［極限と連続性］、単調性は 系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）。したがって点 $(a,b)$ に対し $\sinh t=b$ となる $t$ がただ 1 つ存在し、$\cosh t>0$ かつ $\cosh^2t=1+b^2=a^2$（$a>0$）から $\cosh t=a$ です。

∎

三角関数が円 $a^2+b^2=1$ のパラメータ表示を与えたのと同じように、$\cosh,\sinh$ は双曲線 $a^2-b^2=1$ のパラメータ表示を与えます。双曲線の媒介変数表示は、後の記事「2 次曲線」で使います。

12. 微分方程式による特徴づけ

指数関数・三角関数は、微分方程式を満たす関数としても特徴づけられます。高校では、$y'=y$ の解が $e^x$ の定数倍であることを暗黙のうちに使いますが、証明は次のとおり短いものです。

定理 12.1（y' = y と y'' = −y の解）✓

1. $y:\mathbb R\to\mathbb R$ が微分可能で $y'=y$ ならば、$y(x)=y(0)\exp x$（$x\in\mathbb R$）である。
2. $y:\mathbb R\to\mathbb R$ が 2 回微分可能で $y''=-y$ ならば、$y(x)=y(0)\cos x+y'(0)\sin x$（$x\in\mathbb R$）である。

証明（定理 12.1）

(1) $z(x)=y(x)\exp(-x)$ とおくと、積の法則と連鎖律（定理 6.1［導関数の定義と基本的な微分法］、定理 7.2［導関数の定義と基本的な微分法］）から $z'=y'\exp(-x)-y\exp(-x)=0$ です。導関数が $0$ の関数は定数（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (1)）なので $z\equiv z(0)=y(0)$ で、$y(x)=y(0)\exp(x)$ です（$\exp(x)\exp(-x)=1$）。

(2) $a=y(0)$、$b=y'(0)$ とし、$w=y-a\cos-b\sin$ とおきます。$\cos''=-\cos$、$\sin''=-\sin$（定理 6.2 (3)）なので $w''=-w$ で、$w(0)=a-a=0$、$w'(0)=b-a\cdot0-b\cdot1=0$ です。$E=w^2+(w')^2$ とおくと $E'=2ww'+2w'w''=2ww'-2w'w=0$ なので、$E$ は定数です（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (1)）。$E(0)=w(0)^2+w'(0)^2=0$ で、$E$ の 2 つの項はどちらも $0$ 以上なので、すべての $x$ で $w(x)^2\le E(x)=0$、すなわち $w\equiv0$ です。

∎

この定理から、$\exp,\cos,\sin$ はそれぞれ、初期値 $y(0)=1$ の $y'=y$ の解、$(y(0),y'(0))=(1,0)$、$(0,1)$ の $y''=-y$ の解として、一意に特徴づけられます。級数による定義は、これらの微分方程式の解の構成法の 1 つだったことになります。

13. 大学ではどこへ続くか

• べき級数と解析関数。 $\exp,\cos,\sin$ のようにべき級数で書ける関数は、収束円の内側で何回でも項別微分でき、複素数にも自然に拡張できます。複素数の指数関数を使った Euler の公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を、複素数と複素平面 が扱っています。この記事の 補題 6.3 は、そこで認めていた「$\cos,\sin$ の Maclaurin 展開」を、級数を定義にすることで根本から用意し直したものです。
• 微積分の記事との関係。 導関数の定義と基本的な微分法 では、$\sin x/x\to1$ に扇形の面積を使う高校流の説明を採用しています。この記事の 定理 8.4 と 命題 8.3 が、それを定義から証明し直したものです。
• 常微分方程式。 定理 12.1 は、線形微分方程式の解の一意性の最も簡単な場合です。一般の定数係数の線形方程式と一意性の定理は 常微分方程式の初等的解法 に続きます。
• 角と回転。 $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ は、加法群 $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ から円周群 $S^1$ への同型です。群の言葉でいえば、指数写像 $\theta\mapsto e^{i\theta}$ が円周群の普遍被覆になっていることで、リー群論（行列リー群）に続きます。

14. 演習

演習 14.1標準

すべての実数 $x$ に対して $\exp x\ge1+x$ が成り立つことを示せ。

解答

$x\ge0$ では 定理 3.3 (4) である。$x<0$ では $g(x)=\exp x-1-x$ とおくと $g'(x)=\exp x-1<0$（$\exp$ は狭義単調増加で $\exp0=1$）なので、$g$ は $(-\infty,0]$ で狭義単調減少（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3) を $-g$ に使う）。したがって $x<0$ で $g(x)>g(0)=0$ である。

演習 14.2易

次の極限を、定理 5.1 を使って求めよ。(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^{3n}$　(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n$　(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^n$

解答

(1) $a_n=2/n$、$b_n=3n$ で $a_nb_n=6$ なので $\exp6=e^6$。(2) $a_n=-1/n$（$n\ge2$ で $>-1$）、$b_n=n$ で $a_nb_n=-1$ なので $\exp(-1)=e^{-1}$。(3) $a_n=1/n^2$、$b_n=n$ で $a_nb_n=1/n\to0$ なので $\exp0=1$。

演習 14.3標準

すべての実数 $x$ に対して $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$ が成り立つことを示せ。

解答

$h(x)=x-\sin x$ とおく。$h'(x)=1-\cos x\ge0$（定理 6.5 より $\cos x\le1$）なので、$h$ は単調増加（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (2)）で、$h(0)=0$ より $x\ge0$ で $\sin x\le x$ である。次に $g(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2$ とおくと、$g'(x)=-\sin x+x=h(x)\ge0$（$x\ge0$）なので $g$ は $[0,\infty)$ で単調増加、$g(0)=0$ から $x\ge0$ で $g(x)\ge0$ である。$g$ は偶関数なので、すべての $x$ で $g(x)\ge0$ である。

参考文献

• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 8（指数関数・対数関数・三角関数をべき級数から定義する）。
• M. Spivak, Calculus, 4th ed., Publish or Perish, 2008 — 三角関数・対数関数・指数関数の章（定義の順序の違いによる流儀の比較）。
• 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 初等関数の章（べき級数による定義）。
• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 初等関数の定義（べき級数）。