数列と関数の極限：「限りなく近づく」を ε-N で言い直し、e まで進む

0. この記事の要点

電卓で $1$ を半分にし続けると、$\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18,\dots$ と数は $0$ に近づいていきます。では、数学で「近づく」とは正確にどういう約束のことなのでしょうか。この記事ではその約束をはっきりした文に言い直し、高校で結果だけ使ってきた極限の公式が成り立つ理由と、$2.718\cdots$ というふしぎな数 $e$ が現れる理由を確かめます。

• 高校の「$n$ を限りなく大きくすると $a_n$ は $\alpha$ に限りなく近づく」は、「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$ を言われても、ある番号から先の項はすべて $\alpha$ から $\varepsilon$ 未満しか離れない」と言い直せます。この記事ではこの言い直し（ε-N 論法）を土台に、高校で結果だけ使ってきた極限の公式を証明します。
• 極限の四則・不等号・はさみうちは、定義から数行で出ます。等比数列 $r^n$、無限等比級数、$1/n$ の和（調和級数）の発散も、同じ道具で扱えます。
• 「上に有界で単調に増える数列は収束する」（単調有界数列の収束）は、実数の連続性の言い換えです。これを使うと、$\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n$ が収束することが証明でき、その極限としてネイピア数 $e$ が定義できます。さらに $e=\sum 1/k!$ と、$e$ が無理数であることも示します。
• 入試で見かける道具（Stolz–Cesàro の定理、相加相乗平均の漸化式、$a_{n+1}=f(a_n)$ 型の漸化式の収束）にも、それぞれ短い証明をつけます。
• 関数の極限と連続性・中間値の定理は大学の微分積分学の記事で証明されています。この記事ではそれを指して使い、最後に「パンケーキ定理」（平面の 2 つの図形を 1 本の直線で同時に 2 等分できる）を中間値の定理の応用として証明します。

この記事で使う事前知識

• 絶対値: 数直線上で、数 $x$ と $0$ との距離を表す $|x|$。$|a-b|$ は $a$ と $b$ の距離。→ 絶対値
• 実数の連続性公理: 実数の数直線には「すきま」がない、という性質。上に有界な集合には上限がある、と述べられる。→ 実数の連続性公理
• 二項係数: $n$ 個から $k$ 個を選ぶ選び方の数 $\binom nk$。二項定理の係数にもなる。→ 二項係数
• 関数の極限: $x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が近づく値を、ε-δ で言い直したもの。→ 関数の極限
• 実数の性質と式の計算: 実数の四則・大小関係を公理から組み立てた前提の記事。→ 数と式

1. 動機：「限りなく近づく」を、検査できる文にする

高校の数学 III では、次のように習います。

数列 $a_n=\dfrac1n$ は、$n$ を限りなく大きくすると $0$ に限りなく近づく。このとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ と書く。

この説明で困ることはあまりありません。ところが、次のような場面では「限りなく近づく」だけでは判断がつきません。

• $0.999\cdots$ は $1$ に「限りなく近づく」のですか、それとも $1$ に「等しい」のですか。
• 数列 $1,\ 0,\ \tfrac12,\ 0,\ \tfrac13,\ 0,\ \dots$ は $0$ に近づいていますが、ときどき $0$ そのものに「ぴったり」なります。これでも「限りなく近づく」と言ってよいでしょうか。
• 2 つの収束する数列の和はなぜ収束するのですか。「近づくもの同士を足せば近づく」は納得しやすいのですが、積や商ではどうでしょう。

このような問いに答えるには、「近づく」という動きの言葉をやめて、成り立つか成り立たないかを検査できる文に言い直す必要があります。言い直し方は次のとおりです。まず「$a_n$ が $\alpha$ に近い」を「$|a_n-\alpha|<\varepsilon$」と書きます。$\varepsilon$ は「どれだけ近ければ近いと言うか」の基準で、先に相手が好きな正の数を指定します。それに対して、「この番号 $N$ から先の項はすべて基準を満たす」と答えられるなら、数列は $\alpha$ に収束するのです。

ε-N の読み方。相手が帯の幅 ε を指定し、こちらは番号 N を答える。N から先の点がすべて帯の中に入れば約束達成

この言い直しは、高校の「限りなく近づく」の一歩先にあるだけではありません。極限の公式を証明するための手がかりを与えます。「どんな $\varepsilon$ でも…」という文は、$\varepsilon$ を $\varepsilon/2$ や $\varepsilon/3$ に取り替えて使えるので、和や積の極限を機械的に示せるのです。

2. 数列の極限

2.1. 定義

数列の収束は、大学の実解析の記事で次のように定義されています（定義 2.2［実数の完備性とコーシー列］）。実数列 $(a_n)_{n\ge1}$ が $\alpha\in\mathbb R$ に収束するとは

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\quad |a_n-\alpha|<\varepsilon$$

が成り立つことで、このとき $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ または $a_n\to\alpha$ と書きます。収束しない数列は発散するといいます。この記事の $\mathbb N$ は $1$ 以上の整数の集まりです。

「$\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall n\ge N$」の並びが肝心です。$\varepsilon$ が先に与えられ、$N$ は $\varepsilon$ に応じて後から選びます。$\varepsilon$ を小さくすれば、$N$ はふつう大きくなります。たとえば $a_n=1/n$ なら、$\varepsilon=0.01$ に対して $N=101$ が取れます。一般の $\varepsilon$ に対しては $1/N<\varepsilon$ となる $N$ が必要で、そのような $N$ の存在はアルキメデスの原理（定理 3.2［実数の完備性とコーシー列］）が保証します。これで $\lim 1/n=0$ が示されます。

発散には 2 種類あります。「どんな大きな数 $K$ を言われても、ある番号から先の項はすべて $K$ より大きい」が成り立つとき、数列は正の無限大に発散するといい $a_n\to\infty$ と書きます。$a_n\to-\infty$ も同様です。$a_n\to\infty$ は「$\infty$ という数に収束する」という意味ではなく、収束はしていません。振動して定まらない数列（たとえば $(-1)^n$）も発散です。

定義 2.1（無限大への発散）↗

実数列 $(a_n)$ が正の無限大に発散するとは、$\forall K\in\mathbb R,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ a_n>K$ が成り立つことをいい、$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ または $a_n\to\infty$ と書く。$\forall K\ \exists N\ \forall n\ge N\ a_n<K$ のとき負の無限大に発散するといい、$a_n\to-\infty$ と書く。

2.2. 極限の基本性質

高校では「極限の公式」として、次の事実を結果だけ使います。ここでは定義から証明します。

命題 2.2（数列の極限の基本性質）✓

実数列 $(a_n)$、$(b_n)$ が $a_n\to\alpha$、$b_n\to\beta$ を満たすとする。このとき次が成り立つ。

1. $(a_n)$ は有界である。すなわち、ある $M>0$ があってすべての $n$ で $|a_n|\le M$。
2. 極限は一意である。$a_n\to\alpha'$ でもあるならば $\alpha=\alpha'$。
3. $a_n+b_n\to\alpha+\beta$、任意の定数 $c$ について $ca_n\to c\alpha$、$a_nb_n\to\alpha\beta$。
4. $\beta\ne0$ ならば、ある番号から先で $b_n\ne0$ であり、$a_n/b_n\to\alpha/\beta$。
5. ある番号から先で $a_n\le b_n$ ならば $\alpha\le\beta$。
6. （はさみうち）ある番号から先で $a_n\le c_n\le b_n$ であり $\alpha=\beta$ ならば、数列 $(c_n)$ も $\alpha$ に収束する。

証明の方針は、どの性質も「$\varepsilon$ を分割して配る」ことです。和なら $\varepsilon/2$ ずつ、積なら誤差の係数をまとめて $\varepsilon$ 以下にします。積では $a_n$ の大きさを抑える必要があるので、先に (1) の有界性を示しておきます。

証明（命題 2.2）

(1) $\varepsilon=1$ に対する $N$ を取ると、$n\ge N$ で $|a_n|\le|\alpha|+|a_n-\alpha|<|\alpha|+1$ です。最初の $N-1$ 個の項の絶対値と $|\alpha|+1$ のうち最大のものを $M$ とすれば、すべての $n$ で $|a_n|\le M$ です。

(2) $\alpha\ne\alpha'$ と仮定し、$\varepsilon=|\alpha-\alpha'|/2>0$ とします。$a_n\to\alpha$ から $N_1$ が、$a_n\to\alpha'$ から $N_2$ が取れて、$n\ge N_1$ で $|a_n-\alpha|<\varepsilon$、$n\ge N_2$ で $|a_n-\alpha'|<\varepsilon$ です。$n=\max(N_1,N_2)$ とすると $|\alpha-\alpha'|\le|\alpha-a_n|+|a_n-\alpha'|<2\varepsilon=|\alpha-\alpha'|$ となり、矛盾します。

(3) 和については、$\varepsilon>0$ に対し $\varepsilon/2$ で $N_1,N_2$ を取り、$n\ge\max(N_1,N_2)$ で $|(a_n+b_n)-(\alpha+\beta)|\le|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|<\varepsilon$ とします。定数倍は、$c=0$ なら明らかで、$c\ne0$ なら $\varepsilon/|c|$ を使います。積については、(1) より $|a_n|\le M$ とし、

$$|a_nb_n-\alpha\beta|=|a_n(b_n-\beta)+\beta(a_n-\alpha)|\le M|b_n-\beta|+|\beta||a_n-\alpha|$$

と評価します。$K=M+|\beta|+1$ とおき、$\varepsilon/K$ に対する番号を両方の数列で取れば、右辺は $K\cdot\varepsilon/K=\varepsilon$ 未満です。

(4) $\beta\ne0$ なので $\varepsilon=|\beta|/2$ に対する番号 $N_0$ を取ると、$n\ge N_0$ で $|b_n|\ge|\beta|-|b_n-\beta|>|\beta|/2$ です。とくに $b_n\ne0$ です。まず $1/b_n\to1/\beta$ を示します。$n\ge N_0$ で

$$\left|\frac1{b_n}-\frac1\beta\right|=\frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|}\le\frac{2}{\beta^2}|b_n-\beta|$$

なので、$\varepsilon\beta^2/2$ に対する番号を取ればよいのです。あとは (3) の積の規則を $a_n$ と $1/b_n$ に使います。

(5) $\alpha>\beta$ と仮定し、$\varepsilon=(\alpha-\beta)/2$ とします。十分大きい $n$ では $a_n>\alpha-\varepsilon=\beta+\varepsilon>b_n$ となり、$a_n\le b_n$ に反します。

(6) $\varepsilon>0$ を取る。十分大きい $n$ で $\alpha-\varepsilon<a_n\le c_n\le b_n<\alpha+\varepsilon$ となるので、$|c_n-\alpha|<\varepsilon$ です。

∎

(5) で注意してほしいのは、$a_n<b_n$ という狭い不等式から $\alpha<\beta$ は出ないことです。$a_n=0$、$b_n=1/n$ はすべての $n$ で $a_n<b_n$ ですが、極限はどちらも $0$ です。極限を取ると不等号は等号つきに弱まります。

例 2.3（極限の計算と、各行で使った規則）

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+n}{2n^2-1}$ を求めます。分子・分母を $n^2$ で割ると $\dfrac{3+1/n}{2-1/n^2}$ です。$1/n\to0$、$1/n^2=(1/n)(1/n)\to0$ は 命題 2.2 (3) から、分子は $3$ に、分母は $2$ に収束します。分母の極限は $0$ でないので (4) が使え、答えは $3/2$ です。

別の例として $\sqrt{n+1}-\sqrt n$ は、$\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$ と有理化します。$0<\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<\dfrac1{\sqrt n}$ で、右辺は $0$ に収束します（$1/\sqrt n<\varepsilon$ は $n>1/\varepsilon^2$ で成り立つ）。はさみうち (6) で答えは $0$ です。

3. 等比数列と無限等比級数

命題 3.1（等比数列 $r^n$ の極限）✓

$r$ を実数とする。

1. $|r|<1$ ならば $r^n\to0$、さらに $nr^n\to0$ である。
2. $r>1$ ならば $r^n\to\infty$ である。
3. $r\le-1$ ならば $(r^n)$ は発散する。$r=1$ ならば $r^n=1$ で $1$ に収束する。

証明（命題 3.1）

(1) $r=0$ は明らかです。$r\ne0$ とし、$|r|=\dfrac1{1+h}$ となる $h>0$ を取ります（$|r|<1$ から $h=1/|r|-1>0$）。まず、すべての $n\ge1$ で

$$(1+h)^n\ge1+nh$$

が成り立ちます。$n=1$ は等号で、$(1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h)\ge(1+nh)(1+h)=1+(n+1)h+nh^2\ge1+(n+1)h$ により $n\to n+1$ に進みます（数学的帰納法。定理 3.2［証明の技術］）。したがって $|r|^n=\dfrac1{(1+h)^n}\le\dfrac1{1+nh}<\dfrac1{nh}$ です。$\varepsilon>0$ に対し、アルキメデスの原理（定理 3.2［実数の完備性とコーシー列］）から $N>1/(\varepsilon h)$ を取れば、$n\ge N$ で $|r^n|<\varepsilon$ です。

$nr^n\to0$ のほうは二項定理（定理 7.3［数え上げと母関数］）と二項係数の閉じた式（命題 7.2［数え上げと母関数］）を使います。$n\ge2$ で

$$(1+h)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkh^k\ge\binom n2h^2=\frac{n(n-1)}2h^2$$

ですから、$n|r|^n\le\dfrac{2}{(n-1)h^2}$ です。$\varepsilon>0$ に対し $N>1+2/(\varepsilon h^2)$ を取れば、$n\ge N$ で $n|r|^n<\varepsilon$ です。

(2) $r=1+h$（$h>0$）とすると $r^n\ge1+nh$ です。$K$ を任意とし、$N>K/h$ を取れば $n\ge N$ で $r^n>K$ です。

(3) $r=1$ は明らかです。$r\le-1$ のとき、仮に $r^n\to\gamma$ と収束すると、$r^{n+1}-r^n\to\gamma-\gamma=0$ です（命題 2.2 (3)）。ところが $|r^{n+1}-r^n|=|r-1|\,|r|^n\ge2$ なので、これは $0$ に収束できません。

∎

命題 3.2（無限等比級数の収束条件と和）✓

初項 $a\ne0$、公比 $r$ の無限等比級数 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty ar^k$ は、$|r|<1$ のとき収束し、和は $\dfrac a{1-r}$ である。$|r|\ge1$ のときは発散する。

証明（命題 3.2）

無限級数の和は、部分和の数列の極限として定義されます（定義 3.1［級数と収束判定］）。$r\ne1$ のとき部分和は

$$S_N=\sum_{k=0}^{N}ar^k=\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}$$

です（両辺に $1-r$ を掛けて確かめる）。$|r|<1$ なら 命題 3.1 (1) より $r^{N+1}\to0$ なので、命題 2.2 (3) から $S_N\to a/(1-r)$ です。$|r|\ge1$ のときは $|ar^k|\ge|a|>0$ で、一般項が $0$ に収束しません。収束する級数の一般項は $0$ に収束する（命題 3.5［級数と収束判定］）ので、級数は発散します。

∎

これで、$0.\dot9=0.999\cdots$ が $1$ に等しい理由が説明できます。$0.999\cdots$ とは無限級数 $\sum_{k\ge1}9\cdot10^{-k}$、つまり初項 $0.9$、公比 $0.1$ の無限等比級数のことで、その和は $0.9/(1-0.1)=1$ です。「限りなく $1$ に近づく動き」ではなく、部分和 $0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ \dots$ の極限が $1$ なのです（1 = 0.999…（定理 6.3）［数とは何か］ も参照）。

高校での説明

高校の教科書では「$|r|<1$ のとき $r^n$ は $0$ に近づく」を、$r=\tfrac12$ の例（$\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18,\dots$）で納得させるだけで済ませることが多いようです。上の証明の核心は不等式 $(1+h)^n\ge1+nh$ で、これは「$1+h$ を $n$ 回掛けると、少なくとも $nh$ は増える」という事実です。この 1 本があれば、公比がどれだけ $1$ に近くても結論が変わらないことがわかります。

定理 3.3（調和級数の発散）✓

$H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1k$ とする。$H_n\to\infty$ である。とくに無限級数 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1k$ は発散する。

証明（定理 3.3）

$m\ge0$ について $H_{2^m}\ge1+m/2$ を $m$ についての帰納法で示します。$m=0$ は $H_1=1$ です。$m\to m+1$ では

$$H_{2^{m+1}}-H_{2^m}=\sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac1k\ge2^m\cdot\frac1{2^{m+1}}=\frac12$$

です（$2^m$ 個の項がどれも $1/2^{m+1}$ 以上）。数列 $(H_n)$ は単調に増加するので、$n\ge2^m$ ならば $H_n\ge H_{2^m}\ge1+m/2$ です。$K$ を任意とし、$m$ を $1+m/2>K$ となるように取れば、$n\ge2^m$ で $H_n>K$ です。したがって $H_n\to\infty$ です。収束する数列は有界（命題 2.2 (1)）なので、$(H_n)$ は収束せず、級数は発散します。

∎

一般項 $1/k$ は $0$ に収束するのに、和は発散します。「一般項が $0$ に収束すれば級数が収束する」という逆は成り立ちません。上の証明は、$1/2$ ずつ足りない分をまとめて拾い上げるという、高校の数列の問題でもよく使う型です。

4. 単調有界数列とネイピア数 $e$

4.1. 単調有界数列の収束

極限の値がわからないとき、「収束するかどうか」を判定する道具が必要になります。もっとも基本的なものが次の定理です。

単調に増加し、かつ上に有界な実数列は収束する。（単調有界定理（定理 2.1）［級数と収束判定］）

この定理の背後にあるのが実数の連続性（上限の存在）です。有理数の世界では成り立たないことが、$\sqrt2$ に近づく有理数列の例でわかります（定理 4.5［数とは何か］）。単調に減少して下に有界な数列については、符号を変えて同じことが言えます。

4.2. ネイピア数 $e$ の定義

定理 4.1（$(1+1/n)^n$ の収束とネイピア数 e）✓

数列 $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ は単調に増加し、すべての $n$ で $2\le a_n<3$ を満たす。したがって収束する。この極限をネイピア数 $e$ と呼び、$2\le e\le3$ である。

証明（定理 4.1）

二項定理（定理 7.3［数え上げと母関数］）と $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$（命題 7.2［数え上げと母関数］）より

$$a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac1{n^k}=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right)$$

です（$\dfrac{n!}{(n-k)!\,n^k}=\dfrac nn\cdot\dfrac{n-1}n\cdots\dfrac{n-k+1}n$ に注意）。

単調性。 $n$ を $n+1$ に増やすと、各項に現れる因子 $1-j/n$ は $1-j/(n+1)$ に増え、さらに項の個数が $1$ つ増えます（増える項は $0$ 以上）。すべて非負なので $a_n\le a_{n+1}$ です。

有界性。 下からは、$k=0,1$ の項だけで $a_n\ge1+n\cdot\frac1n=2$ です。上からは、因子がすべて $1$ 以下なので $a_n\le\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}$ で、$k!\ge2^{k-1}$（$k\ge1$）より

$$a_n\le1+\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k-1}}=1+2\left(1-\frac1{2^n}\right)<3$$

です。

単調増加で上に有界なので、単調有界定理（定理 2.1［級数と収束判定］）から収束します。極限が $2$ 以上 $3$ 以下になることは 命題 2.2 (5) です。

∎

$e$ の値は $2.71828\cdots$ です。複利計算の言葉で言えば、年利 $100\%$ を $n$ 回に分けて複利にすると、元金は 1 年で $\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n$ 倍になります。分ける回数を増やすほど増えますが、上限は $e$ 倍を超えません。

a_n = (1+1/n)^n の値（n = 1〜10）。増え続けるが、点線の e = 2.718… と 3 を超えない

4.3. $e$ の級数表示と無理性

定理 4.2（e の級数表示）✓

$\displaystyle e=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$ である。

証明の方針は、$e\le s$ と $e\ge s$ の 2 方向に分けることです。前者は $a_n\le s_n\le s$ を使って上から押さえます。後者は、まず項数 $m$ を固定して $n\to\infty$ とし、そのあとで $m\to\infty$ とします。動かす変数は一度に 1 つだけです。

証明（定理 4.2）

$s_m=\sum_{k=0}^m1/k!$ とおきます。これは増加する数列で、定理 4.1 の証明と同じ評価から $s_m<3$ です。したがって単調有界定理により $s=\lim s_m$（級数の和）が存在します。

$e\le s$ を示します。定理 4.1 の証明の式で因子を $1$ 以下とみなせば $a_n\le s_n$ です。また $m\ge n$ で $s_n\le s_m$ なので、$m\to\infty$ として（命題 2.2 (5)）$s_n\le s$ です。極限を取ると 命題 2.2 (5) より $e\le s$ です。

$e\ge s$ を示します。$m$ を固定し $n\ge m$ とすると、$a_n$ の和の項を $k\le m$ に限って捨てても非負なので

$$a_n\ge\sum_{k=0}^m\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right)$$

です。$n\to\infty$ とすると、右辺は有限個の項の和で、各項の因子は $1$ に収束するので、命題 2.2 (3) から右辺は $s_m$ に収束します。(5) より $e\ge s_m$ です。これがすべての $m$ で成り立つので、$m\to\infty$ として $e\ge s$ です。

∎

定理 4.3（e は無理数）✓

$e$ は無理数である。

証明（定理 4.3）

まず、$e-s_n$ を評価します。$N>n$ に対し、$(n+1+j)!\ge(n+1)!\,(n+2)^j$ より

$$\sum_{k=n+1}^N\frac1{k!}\le\frac1{(n+1)!}\sum_{j=0}^{N-n-1}\frac1{(n+2)^j}\le\frac1{(n+1)!}\cdot\frac{n+2}{n+1}$$

です。$N\to\infty$ とすると（定理 4.2 と 命題 2.2 (3)(5)）

$$0<e-s_n\le\frac{n+2}{(n+1)!\,(n+1)}<\frac1{n!\,n}$$

を得ます（最後の不等号は $n(n+2)<(n+1)^2$ から。左端の $0<e-s_n$ は、$N>n$ で $s_N-s_n\ge\frac1{(n+1)!}$ の極限を取って $e-s_n\ge\frac1{(n+1)!}$ となることから）。

$e=p/q$（$p,q$ は正の整数）と仮定し、$n=q$ とします。$n!\,e=(q-1)!\,p$ は整数、$n!\,s_n=\sum_{k=0}^n n!/k!$ も整数なので、$n!\,(e-s_n)$ は整数です。ところが上の評価から $0<n!\,(e-s_n)<1/n\le1$ で、$0$ と $1$ の間に整数はありません。矛盾です。

∎

5. 極限を求めるための道具

5.1. Stolz–Cesàro の定理

分数の極限を求める定番の道具が、分母と分子を「階差」に置き換える次の定理です。関数の極限に対する l’Hôpital の定理の数列版にあたります。

定理 5.1（Stolz–Cesàro の定理）✓

$(b_n)$ を狭義単調増加で $b_n\to\infty$ を満たす実数列、$(a_n)$ を任意の実数列とする。

$$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L\in\mathbb R$$

ならば $\dfrac{a_n}{b_n}\to L$ である。

証明の方針は、階差の比が $L$ に近い範囲（$n\ge N$）を足し合わせて、$a_m/b_m$ と $L$ の差を評価することです。ここで $N$ は一度決めたら動かさない固定の番号で、あとで大きくするのは $m$ だけです。

証明（定理 5.1）

$\varepsilon>0$ を取る。$b_n\to\infty$ なので、番号を後ろへずらして $b_N>0$ としてよい。仮定から（必要なら $N$ をさらに大きく取って）$n\ge N$ で

$$\bigl|(a_{n+1}-a_n)-L(b_{n+1}-b_n)\bigr|<\frac\varepsilon2(b_{n+1}-b_n)$$

です（$b_{n+1}-b_n>0$ なので両辺に掛けてよい）。$n=N,N+1,\dots,m-1$ の分を足し合わせると、$m>N$ で

$$\bigl|(a_m-a_N)-L(b_m-b_N)\bigr|<\frac\varepsilon2(b_m-b_N)$$

です。ここで $b_n\to\infty$ より、$m$ が大きければ $b_m>0$ としてよいので

$$\left|\frac{a_m}{b_m}-L\right|\le\frac{|a_N-Lb_N|}{b_m}+\frac{|(a_m-a_N)-L(b_m-b_N)|}{b_m}<\frac{|a_N-Lb_N|}{b_m}+\frac\varepsilon2$$

です（$b_m-b_N<b_m$ を使った）。$N$ は固定されているので $|a_N-Lb_N|/b_m\to0$ であり、$m$ が十分大きければ第 1 項は $\varepsilon/2$ 未満です。したがって $|a_m/b_m-L|<\varepsilon$ です。

∎

$b_n=n$ とすると、次の「平均の収束」が得られます。

系 5.2（Cesàro 平均の収束）✓

$a_n\to L$ ならば、$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n\to L$ である。

証明（系 5.2）

$A_n=a_1+\cdots+a_n$ とおき、定理 5.1 を $(A_n)$ と $b_n=n$ に使う。$(A_{n+1}-A_n)/((n+1)-n)=a_{n+1}\to L$ なので $A_n/n\to L$ です。

∎

例 5.3（$a_{n+1} = a_n − a_n^2$ の増大度）

$0<a_1<1$、$a_{n+1}=a_n-a_n^2$ とします。$0<a_n<1$ なら $0<a_{n+1}=a_n(1-a_n)<a_n<1$ なので、$(a_n)$ は正で単調に減少して下に有界、収束します。極限 $\lambda$ は、漸化式の両辺の極限を取って $\lambda=\lambda-\lambda^2$、すなわち $\lambda=0$ です。さらに $c_n=1/a_n$ とおくと

$$c_{n+1}-c_n=\frac1{a_n(1-a_n)}-\frac1{a_n}=\frac1{1-a_n}\to1$$

です。定理 5.1 を、分子の数列 $(c_n)$ と分母の数列 $b_n=n$（狭義単調増加で $\infty$ に発散）に使うと、$c_n/n\to1$、すなわち $na_n\to1$ です。$a_n$ は $0$ に収束しますが、その速さは $1/n$ とほぼ同じです。

5.2. 相加相乗平均の漸化式（AGM）

定理 5.4（算術幾何平均の収束）✓

$a_0,b_0$ を正の実数とし、

$$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2,\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$$

で $(a_n),(b_n)$ を定める（正の実数の平方根の存在と一意性は 定理 2.2［指数関数と対数関数］ による）。このとき $(a_n)$ と $(b_n)$ はともに収束し、極限は一致する。

証明（定理 5.4）

正の実数 $x,y$ について $\dfrac{x+y}2-\sqrt{xy}=\dfrac12(\sqrt x-\sqrt y)^2\ge0$ なので、$a_{n+1}\ge b_{n+1}$ がすべての $n\ge0$ で成り立ちます。そこで $n\ge1$ では $a_n\ge b_n$ です。このとき

$$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\le a_n,\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\ge\sqrt{b_nb_n}=b_n$$

なので、$n\ge1$ で $(a_n)$ は減少し $(b_n)$ は増加します。さらに $b_1\le b_n\le a_n\le a_1$ なので、$(a_n)$ は下に有界、$(b_n)$ は上に有界です。単調有界定理（定理 2.1［級数と収束判定］）で、$a_n\to\alpha$、$b_n\to\beta$ と収束します。漸化式 $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$ の両辺で極限を取ると、命題 2.2 (3) から $\alpha=(\alpha+\beta)/2$、すなわち $\alpha=\beta$ です。

∎

この共通の極限を $a_0,b_0$ の算術幾何平均（AGM）といいます。Gauss がこの平均を楕円積分と結びつけたことは有名ですが、ここでは触れません。

5.3. $a_{n+1}=f(a_n)$ 型の漸化式

入試で「漸化式で定まる数列の極限」を求める問題は、ほとんどが次の 3 つの型に分類できます。

命題 5.5（連続関数と数列の極限）✓

$A\subseteq\mathbb R$、$f:A\to\mathbb R$、$c\in A$ とする。

1. $f$ が $c$ で連続（定義 5.1［極限と連続性］）で、$A$ の点からなる数列 $(x_n)$ が $x_n\to c$ ならば、$f(x_n)\to f(c)$ である。
2. 逆に、$c$ に収束する $A$ の点からなるすべての数列 $(x_n)$ について $f(x_n)\to f(c)$ ならば、$f$ は $c$ で連続である。

証明（命題 5.5）

(1) $\varepsilon>0$ に対し、連続性の定義から $\delta>0$ が取れて、$x\in A$、$|x-c|<\delta$ ならば $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ です。$x_n\to c$ なので $\delta$ に対する番号 $N$ を取れば、$n\ge N$ で $|x_n-c|<\delta$、したがって $|f(x_n)-f(c)|<\varepsilon$ です。

(2) 対偶を示します。$f$ が $c$ で連続でないとすると、ある $\varepsilon>0$ があって、どの $\delta>0$ に対しても $|x-c|<\delta$ かつ $|f(x)-f(c)|\ge\varepsilon$ となる $x\in A$ が存在します。$\delta=1/k$ に対する $x$ を $x_k$ とすれば、$x_k\to c$ ですが $f(x_k)\not\to f(c)$ です。

∎

次の定理に出てくる不動点とは、$f(x)=x$ を満たす点のことです。数列が収束するなら、その行き先は不動点しかありえません。証明は、(1) 極限は不動点、(2) 単調な場合は単調有界定理、(3) 縮小型では項どうしの差がいくらでも小さくなること、の順に進みます。

定理 5.6（漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ の収束）✓

$I=[p,q]$ を閉区間、$f:I\to I$ を連続関数とし、$a_1\in I$、$a_{n+1}=f(a_n)$ とおく。

1. （極限は不動点）$a_n\to L$ ならば $L\in I$ かつ $f(L)=L$ である。
2. （単調型）$f$ が $I$ 上で単調に増加（$x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)$）ならば、数列 $(a_n)$ は単調で、$f$ の不動点に収束する。
3. （縮小型）ある定数 $0\le k<1$ があって $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$（$x,y\in I$）ならば、$f$ の不動点 $\alpha$ はただ 1 つで、$|a_n-\alpha|\le k^{n-1}|a_1-\alpha|$ であり、$a_n\to\alpha$ である。

証明（定理 5.6）

(1) $a_n\in I$ で $I$ は閉区間なので、命題 2.2 (5) から $p\le L\le q$ です。$f$ は $L$ で連続なので 命題 5.5 (1) より $a_{n+1}=f(a_n)\to f(L)$ です。一方 $a_{n+1}\to L$ でもあり、極限の一意性（命題 2.2 (2)）から $f(L)=L$ です。

(2) $a_2\ge a_1$ ならば、$f$ の単調増加性を繰り返し使って $a_3=f(a_2)\ge f(a_1)=a_2$、以下同様に $a_{n+1}\ge a_n$（帰納法）です。$a_2\le a_1$ ならば同様に $a_{n+1}\le a_n$ です。いずれの場合も $(a_n)$ は単調で $I$ に含まれるので有界であり、単調有界定理（定理 2.1［級数と収束判定］）で収束します。極限は (1) より不動点です。

(3) 一意性：不動点が $\alpha,\beta$ の 2 つあれば $|\alpha-\beta|=|f(\alpha)-f(\beta)|\le k|\alpha-\beta|$ から $(1-k)|\alpha-\beta|\le0$、したがって $\alpha=\beta$ です。存在と収束：$|a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|\le k|a_n-a_{n-1}|$ を繰り返して $|a_{n+1}-a_n|\le k^{n-1}|a_2-a_1|$ です。$m>n$ のとき三角不等式で

$$|a_m-a_n|\le\sum_{j=n}^{m-1}|a_{j+1}-a_j|\le\frac{k^{n-1}}{1-k}|a_2-a_1|$$

で、右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束します（命題 3.1）。したがって $(a_n)$ はコーシー列で、実数の完備性（定理 7.3［実数の完備性とコーシー列］）により収束します。極限 $\alpha$ は (1) より不動点で、一意性から求めるものです。最後に $|a_{n+1}-\alpha|=|f(a_n)-f(\alpha)|\le k|a_n-\alpha|$ を $n$ について繰り返せば誤差の評価が出ます。

∎

グラフで見ると、$a_{n+1}=f(a_n)$ は「$y=f(x)$ で縦に動き、$y=x$ で横に折り返す」階段として追えます。次の図で、階段が不動点（2 つのグラフの交点）に吸い込まれる様子を見てください。

a_1 から a_9 までの階段（クモの巣図）。左は次の例の漸化式で、単調に √2 へ。右は f(x)=1-0.8x で、左右に振動しながら不動点 5/9 へ縮む。

例 5.7（√2 を求める漸化式）

$f(x)=\dfrac x2+\dfrac1x$ とし、$a_1=1$、$a_{n+1}=f(a_n)$ とします。$x\ge1$ で $f(x)\ge\sqrt2$（相加相乗平均）、$f(x)\le\dfrac x2+1\le2$（$x\in[1,2]$）なので、$f$ は $I=[1,2]$ を $I$ に写します。また $f'(x)=\dfrac12-\dfrac1{x^2}\in\left[-\dfrac12,\dfrac14\right]$ なので、平均値の定理（定理 3.3［平均値の定理とテイラーの定理］）から $|f(x)-f(y)|\le\dfrac12|x-y|$ で縮小型です。不動点は $x=\dfrac x2+\dfrac1x$ すなわち $x^2=2$ の正の解で、$a_n\to\sqrt2$ です。誤差は $|a_n-\sqrt2|\le2^{-(n-1)}(\sqrt2-1)$ 以下で、実際はこれよりはるかに速く（ほぼ 2 乗の速さで）縮みます。

6. 関数の極限と連続性・中間値の定理

関数の極限 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ の ε-δ による定義、極限の四則・はさみうち、数列による特徴づけ、連続性、合成関数の連続性、中間値の定理は、大学の微分積分学の記事に定義から証明されています。この記事では再証明せず、次のように指して使います。

• 極限の定義：定義 3.1［極限と連続性］、連続の定義：定義 5.1［極限と連続性］。
• 極限の四則：定理 4.2［極限と連続性］、はさみうち：定理 4.3［極限と連続性］、合成関数の連続性：定理 5.3［極限と連続性］。
• 多項式関数・有理関数は連続：系 5.2［極限と連続性］。
• 数列との関係（$x\to a$ の極限は、$a$ に近づく数列に沿った極限と同じ）：定理 4.5［極限と連続性］。
• 中間値の定理：定理 5.7［極限と連続性］。

高校の言い方との対応を確認しておきます。高校では「$x\to a$ のとき $f(x)\to L$」と書きますが、定義には「$x\ne a$」という条件が入っています（$x=a$ での値 $f(a)$ は極限に影響しません）。連続であるとは、極限が存在してその値が $f(a)$ に等しいことでした。「連続関数のグラフはつながっている」という高校の説明をきちんと言い直したものが、中間値の定理です。

例 6.1（中間値の定理で解の個数を見積もる）

$f(x)=x^3-3x+1$ は多項式関数なので連続です。$f(-2)=-1<0$、$f(-1)=3>0$、$f(0)=1>0$、$f(1)=-1<0$、$f(2)=3>0$ です。中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）から、$f(x)=0$ は区間 $(-2,-1)$、$(0,1)$、$(1,2)$ のそれぞれに少なくとも 1 つ解を持ちます。3 次方程式の解は高々 3 つ（因数定理）なので、実数解はちょうど 3 つあり、各区間に 1 つずつです。同じ方法で区間を半分ずつに絞っていく（二分法）と、解を好きな精度で求められます。

6.1. 無限大での極限

数列に対する「$n\to\infty$」に対応して、関数にも「$x\to\infty$」の極限があります。

定義 6.2（x → ∞ での極限）↗

$f$ を区間 $[c,\infty)$ で定義された実数値関数とする。

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists M,\ \forall x\ge M,\quad|f(x)-L|<\varepsilon$$

が成り立つとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ と書く。また $\forall K\ \exists M\ \forall x\ge M\ f(x)>K$ が成り立つとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ と書く。

命題 6.3（x → ∞ の極限と数列の極限）✓

$f$ を $[c,\infty)$ 上の関数、$L\in\mathbb R$ とする。次の 2 条件は同値である。

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$。
2. $[c,\infty)$ の点からなる $x_n\to\infty$ を満たす任意の数列 $(x_n)$ について、$f(x_n)\to L$。

証明（命題 6.3）

(1) ならば (2). $\varepsilon>0$ に対し、(1) の $M$ を取ります。$x_n\to\infty$ なので $N$ があって $n\ge N$ で $x_n>M$、したがって $|f(x_n)-L|<\varepsilon$ です。

(2) ならば (1). 対偶を示します。(1) が成り立たないとすると、ある $\varepsilon>0$ があって、どの $M$ に対しても $x\ge M$ かつ $|f(x)-L|\ge\varepsilon$ となる $x$ が存在します。$M=n$ に対応する $x$ を $x_n$ とすれば、$x_n\ge n$ より $x_n\to\infty$ ですが、$f(x_n)\to L$ ではありません。

∎

この同値のおかげで、$x\to\infty$ の極限も 命題 2.2 の四則・はさみうちと同じ形で計算できます。

7. パンケーキ定理：中間値の定理の応用

平らなテーブルの上に、形の違う 2 枚のパンケーキがあるとします。包丁を 1 回まっすぐ入れて、2 枚とも同時に半分に切ることはできるでしょうか。形がどんなに歪んでも、できます。これが 2 次元の「パンケーキ定理」（ham sandwich 定理の平面版）です。証明は 3 つの段階です。(i) 方向を決めれば、1 枚を 2 等分する直線がちょうど 1 本ある。(ii) その直線を方向とともに動かすと、もう 1 枚の「左側の面積 − 半分」は連続に変わる。(iii) 向きを反対にすると符号が逆になるので、中間値の定理で $0$ になる方向がある。

以下の補題は、「どの方向にも 2 等分する直線がただ 1 本あり、方向を少し変えれば直線も少ししか動かない」ことを示すためのものです。長い証明ですが、前半が「ある・ただ 1 本」、後半が「連続に動く」にあたります。

厳密に述べるために、パンケーキを平面の有界な「領域」（空でない連結な開集合。開集合とは、どの点にもその周りの小さな円板が含まれる集合のことです。連結とは、互いに交わらない 2 つの空でない開集合の和には分けられないこと）とし、面積をルベーグ測度 $m$（高校の面積を、もっと複雑な図形にまで広げたもの）で測ります（定義 2.1［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）。以下で $\cos,\sin$ は、指数・対数・三角関数をきちんと定義する で級数から定義した関数で、微分可能（定理 6.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）、したがって連続（定理 3.4［導関数の定義と基本的な微分法］）です。実数 $\theta$ に対し単位ベクトル $u(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ を取り、実数 $c$ に対し

$$H(\theta,c)=\{x\in\mathbb R^2:\ x\cdot u(\theta)<c\},\qquad \ell(\theta,c)=\{x\in\mathbb R^2:\ x\cdot u(\theta)=c\}$$

とおきます。$\ell(\theta,c)$ は $u(\theta)$ に垂直な直線、$H(\theta,c)$ はその直線の片側の半平面です。有界な可測集合 $E$ に対し $\varphi_E(\theta,c)=m(E\cap H(\theta,c))$ とします。

補題 7.1（直線の面積は 0）✓

任意の $\theta,c$ に対し $m(\ell(\theta,c))=0$ である。

証明（補題 7.1）

$O=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ とおくと、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$（定理 6.5［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）より $O^{\mathsf T}O=I$ で、$O$ は直交行列です。$O^{\mathsf T}x$ の第 1 成分は $x\cdot u(\theta)$ なので、$\ell(\theta,c)=O(\{y\in\mathbb R^2:y_1=c\})$ です。座標超平面 $\{y_1=c\}$ の測度は $0$（補題 2.2［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）で、直交行列は測度を変えません（系 3.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）。

∎

補題 7.2（半平面との共通部分の面積は連続）✓

$E\subseteq\mathbb R^2$ を有界な可測集合とする。$(\theta_k,c_k)\to(\theta,c)$ ならば $\varphi_E(\theta_k,c_k)\to\varphi_E(\theta,c)$ である。

証明（補題 7.2）

$\varphi_E(\theta,c)=\int 1_E\,1_{H(\theta,c)}\,dm$ です。$x\in\mathbb R^2$ を $x\notin\ell(\theta,c)$ とすると、$\cos,\sin$ の連続性から $x\cdot u(\theta_k)-c_k\to x\cdot u(\theta)-c\ne0$ なので、十分大きい $k$ で $x\cdot u(\theta_k)-c_k$ の符号は $x\cdot u(\theta)-c$ と同じです。すなわち $1_{H(\theta_k,c_k)}(x)\to1_{H(\theta,c)}(x)$ です。例外は直線 $\ell(\theta,c)$ だけで、補題 7.1 によりそれは零集合です。また $0\le 1_E1_{H(\theta_k,c_k)}\le1_E$ で、$E$ は有界なので $m(E)<\infty$、すなわち $1_E$ は可積分です。ルベーグの優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）から積分が収束します。

∎

補題 7.3（2 等分する直線は方向ごとにただ 1 本で、連続に動く）✓

$A\subseteq\mathbb R^2$ を有界な領域とする。

1. 各 $\theta$ に対し、$\varphi_A(\theta,c)=m(A)/2$ を満たす $c$ がちょうど 1 つ存在する。それを $c_A(\theta)$ と書く。
2. $\theta\mapsto c_A(\theta)$ は連続である。
3. $c_A(\theta+\pi)=-c_A(\theta)$ である。

証明（補題 7.3）

$A$ は空でない開集合なので、ある開正方形を含み、$m(A)>0$ です（補題 2.2［ℝ^d の変数変換公式と極座標］ (1)）。$A$ は有界なので、ある $R>0$ があって $A\subseteq\{|x|<R\}$ です。$|x\cdot u(\theta)|\le|x|$ より、$c\le-R$ なら $\varphi_A(\theta,c)=0$、$c\ge R$ なら $\varphi_A(\theta,c)=m(A)$ です。

(1) 存在。 $c\mapsto\varphi_A(\theta,c)$ は 補題 7.2 と 命題 5.5 (2) により連続なので、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）より、区間 $[-R,R]$ で値 $m(A)/2$ を取る $c$ が存在します。

(1) 一意性。 $c_1<c_2$ で $\varphi_A(\theta,c_1)=\varphi_A(\theta,c_2)=m(A)/2$ と仮定して矛盾を導きます。$\varphi_A$ は $c$ について単調に増加するので、これは $m\bigl(A\cap\{c_1\le x\cdot u<c_2\}\bigr)=0$ を意味します（$c_1$ での直線の面積は $0$）。したがって開集合 $A\cap\{c_1<x\cdot u<c_2\}$ の面積は $0$ ですが、空でない開集合は開正方形を含むので正の面積を持ち（冒頭と同じ理由）、この集合は空です。そこで $c'=(c_1+c_2)/2$ とし、$A_-=A\cap\{x\cdot u<c'\}$、$A_+=A\cap\{x\cdot u>c'\}$ とおくと、直線 $\{x\cdot u=c'\}$ は $A$ と交わらないので $A=A_-\cup A_+$ で、$A_\pm$ はどちらも開集合、互いに交わりません。$A$ は連結なので一方は空です。$A_-=\varnothing$ なら $\varphi_A(\theta,c_1)=0$、$A_+=\varnothing$ なら $\varphi_A(\theta,c_2)=m(A)$ で、どちらも $m(A)/2$ に反します。

(2) $\theta_k\to\theta$ とします。$|c_A(\theta_k)|<R$ なので、$(c_A(\theta_k))$ が $c_A(\theta)$ に収束しないとすると、$\varepsilon>0$ と部分列で $|c_A(\theta_{k_j})-c_A(\theta)|\ge\varepsilon$ となるものがあります。有界なのでさらに部分列を取って $c_A(\theta_{k_j})\to c^*$ とできます（定理 6.3［実数の完備性とコーシー列］）。このとき 補題 7.2 より $\varphi_A(\theta,c^*)=\lim\varphi_A(\theta_{k_j},c_A(\theta_{k_j}))=m(A)/2$ なので、(1) の一意性から $c^*=c_A(\theta)$ ですが、$|c^*-c_A(\theta)|\ge\varepsilon$ に反します。したがって $c_A(\theta_k)\to c_A(\theta)$ で、命題 5.5 (2) により $c_A$ は連続です。

(3) $u(\theta+\pi)=-u(\theta)$（定理 7.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）なので $H(\theta+\pi,-c)=\{x\cdot u(\theta)>c\}$ です。直線の面積が $0$ なので $\varphi_A(\theta+\pi,-c_A(\theta))=m(A)-\varphi_A(\theta,c_A(\theta))-0=m(A)/2$ です。(1) の一意性から $c_A(\theta+\pi)=-c_A(\theta)$ です。

∎

定理 7.4（パンケーキ定理（平面））✓

$A,B\subseteq\mathbb R^2$ を有界な領域とする。このとき、ある直線 $\ell$ が存在して、$\ell$ の両側にある $A$ の部分の面積はどちらも $m(A)/2$ であり、$B$ の部分の面積もどちらも $m(B)/2$ である。

証明（定理 7.4）

$g(\theta)=\varphi_B\bigl(\theta,c_A(\theta)\bigr)-m(B)/2$ とおきます。$c_A$ は連続（補題 7.3 (2)）で、$\varphi_B$ は 補題 7.2 により連続なので、命題 5.5 から $g$ は連続です（$\theta_k\to\theta$ なら $(\theta_k,c_A(\theta_k))\to(\theta,c_A(\theta))$）。

$g(\theta+\pi)=-g(\theta)$ を示します。補題 7.3 (3) と $u(\theta+\pi)=-u(\theta)$ により

$$\varphi_B\bigl(\theta+\pi,c_A(\theta+\pi)\bigr)=m\bigl(B\cap\{x\cdot u(\theta)>c_A(\theta)\}\bigr)=m(B)-\varphi_B\bigl(\theta,c_A(\theta)\bigr)$$

です（直線の面積は $0$）。したがって $g(\theta+\pi)=m(B)/2-\varphi_B(\theta,c_A(\theta))=-g(\theta)$ です。

とくに $g(0)$ と $g(\pi)=-g(0)$ は符号が反対（または共に $0$）なので、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）より $g(\theta^*)=0$ となる $\theta^*\in[0,\pi]$ があります。直線 $\ell=\ell(\theta^*,c_A(\theta^*))$ が求めるものです。$A$ の片側の面積は $c_A$ の定義から $m(A)/2$ で、反対側も $m(A)-m(A)/2-0$ です。$B$ は $g(\theta^*)=0$ から片側が $m(B)/2$ で、反対側も同じです。

∎

注意 7.5

3 次元では、同じ考え方で「3 つの立体を 1 枚の平面で同時に 2 等分できる」（ham sandwich 定理）が成り立ちますが、証明には Borsuk–Ulam の定理（球面から平面へのどんな連続写像も、ある対蹠点の組 $x,-x$ を同じ値に写す）が必要で、中間値の定理だけでは足りません。この記事では主張と文献（参考文献の Matoušek）を示すだけにとどめます。

8. 大学ではどこへ続くか

• ε-δ 論法と連続性。 関数の極限・連続性・一様連続性を ε-δ で系統的に扱うのは 極限と連続性 です。この記事で数列に使った「$\varepsilon$ を分割して配る」証明の型が、そのまま関数の極限にも使われます。
• 実数の完備性。 単調有界定理は、実数の連続性公理と同値です。コーシー列・ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理・上限の存在との関係は 完備性とコーシー列 で整理されます。
• 級数。 無限等比級数と調和級数の先にある、比較判定法・比判定法・絶対収束・条件収束は 級数と収束判定 です。
• 次の記事。 $e$ を極限として定義したところから、指数関数・対数関数・三角関数を級数で厳密に定義し直すのが 指数・対数・三角関数をきちんと定義する です。この記事の 定理 4.1 と 定理 4.2 がそこで使われます。

9. 演習

演習 9.1標準

$a_1=1$、$a_{n+1}=1+\dfrac1{a_n}$ で定まる数列は、黄金比 $\dfrac{1+\sqrt5}2$ に収束することを示せ。

解答

$f(x)=1+1/x$ とおく。$a_2=2$ で、$I=\left[\tfrac32,2\right]$ では $f(x)\in\left[\tfrac32,\tfrac53\right]\subseteq I$ なので、$f$ は $I$ を $I$ に写す。さらに $x,y\in I$ で

$$|f(x)-f(y)|=\left|\frac1x-\frac1y\right|=\frac{|x-y|}{xy}\le\frac49|x-y|$$

（$xy\ge\tfrac94$）なので縮小型である。$a_2\in I$ から出発する数列 $(a_n)_{n\ge2}$ に 定理 5.6 (3) を使うと、不動点（$x=1+1/x$、すなわち $x^2-x-1=0$ の $I$ 内の解 $\frac{1+\sqrt5}2$）に収束する。

演習 9.2易

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}$ を、定理 5.1 を使って求めよ。

解答

$a_n=1^2+\cdots+n^2$、$b_n=n^3$（狭義単調増加で $\infty$ に発散）とすると

$$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)^3-n^3}=\frac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1}=\frac{(1+1/n)^2}{3+3/n+1/n^2}\to\frac13$$

である。したがって極限は $1/3$。

演習 9.3標準

$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ は収束することを示せ。

解答

$k\ge2$ で $\dfrac1{k^2}<\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$ だから、$S_n<1+\left(1-\dfrac1n\right)<2$ である。$(S_n)$ は単調に増加して上に有界なので、単調有界定理（定理 2.1［級数と収束判定］）により収束する。（極限の値が $\pi^2/6$ であることはこの記事の範囲外。）

参考文献

• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 第 I 章（実数と数列）。
• 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 第 1 章（基本的な概念）。
• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 3（数列と級数）。
• G. Pólya, G. Szegő, Problems and Theorems in Analysis I, Springer — 数列と級数の章（Stolz–Cesàro の定理の使い方）。
• A. H. Stone, J. W. Tukey, “Generalized ‘sandwich’ theorems”, Duke Mathematical Journal 9 (1942), 356–359 — ham sandwich 定理。
• J. Matoušek, Using the Borsuk–Ulam Theorem, Springer, 2003 — 3 次元の ham sandwich 定理。