# 数列と関数の極限：「限りなく近づく」を ε-N で言い直し、e まで進む > 高校の「限りなく近づく」を ε-N の定義で言い直し、等比数列・無限等比級数・調和級数の発散・ネイピア数 e・Stolz–Cesàro の定理・漸化式の収束を、定義から順に証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-analysis/limits ## 0. この記事の要点 電卓で $1$ を半分にし続けると、$\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18,\dots$ と数は $0$ に近づいていきます。では、数学で「近づく」とは正確にどういう約束のことなのでしょうか。この記事ではその約束をはっきりした文に言い直し、高校で結果だけ使ってきた極限の公式が成り立つ理由と、$2.718\cdots$ というふしぎな数 $e$ が現れる理由を確かめます。 - 高校の「$n$ を限りなく大きくすると $a_n$ は $\alpha$ に限りなく近づく」は、「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$ を言われても、ある番号から先の項はすべて $\alpha$ から $\varepsilon$ 未満しか離れない」と言い直せます。この記事ではこの言い直し（ε-N 論法）を土台に、高校で結果だけ使ってきた極限の公式を証明します。 - 極限の四則・不等号・はさみうちは、定義から数行で出ます。等比数列 $r^n$、無限等比級数、$1/n$ の和（調和級数）の発散も、同じ道具で扱えます。 - 「上に有界で単調に増える数列は収束する」（単調有界数列の収束）は、実数の連続性の言い換えです。これを使うと、$\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n$ が収束することが証明でき、その極限としてネイピア数 $e$ が定義できます。さらに $e=\sum 1/k!$ と、$e$ が無理数であることも示します。 - 入試で見かける道具（Stolz–Cesàro の定理、相加相乗平均の漸化式、$a_{n+1}=f(a_n)$ 型の漸化式の収束）にも、それぞれ短い証明をつけます。 - 関数の極限と連続性・中間値の定理は大学の微分積分学の記事で証明されています。この記事ではそれを指して使い、最後に「パンケーキ定理」（平面の 2 つの図形を 1 本の直線で同時に 2 等分できる）を中間値の定理の応用として証明します。 ## 1. 動機：「限りなく近づく」を、検査できる文にする 高校の数学 III では、次のように習います。 > 数列 $a_n=\dfrac1n$ は、$n$ を限りなく大きくすると $0$ に限りなく近づく。このとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ と書く。 この説明で困ることはあまりありません。ところが、次のような場面では「限りなく近づく」だけでは判断がつきません。 - $0.999\cdots$ は $1$ に「限りなく近づく」のですか、それとも $1$ に「等しい」のですか。 - 数列 $1,\ 0,\ \tfrac12,\ 0,\ \tfrac13,\ 0,\ \dots$ は $0$ に近づいていますが、ときどき $0$ そのものに「ぴったり」なります。これでも「限りなく近づく」と言ってよいでしょうか。 - 2 つの収束する数列の和はなぜ収束するのですか。「近づくもの同士を足せば近づく」は納得しやすいのですが、積や商ではどうでしょう。 このような問いに答えるには、「近づく」という動きの言葉をやめて、**成り立つか成り立たないかを検査できる文**に言い直す必要があります。言い直し方は次のとおりです。まず「$a_n$ が $\alpha$ に近い」を「$|a_n-\alpha|<\varepsilon$」と書きます。$\varepsilon$ は「どれだけ近ければ近いと言うか」の基準で、先に相手が好きな正の数を指定します。それに対して、「この番号 $N$ から先の項はすべて基準を満たす」と答えられるなら、数列は $\alpha$ に収束するのです。
α + ε α − ε α N n
この言い直しは、高校の「限りなく近づく」の一歩先にあるだけではありません。**極限の公式を証明するための手がかりを与えます**。「どんな $\varepsilon$ でも…」という文は、$\varepsilon$ を $\varepsilon/2$ や $\varepsilon/3$ に取り替えて使えるので、和や積の極限を機械的に示せるのです。 ## 2. 数列の極限 ### 2.1. 定義 数列の収束は、大学の実解析の記事で次のように定義されています（）。実数列 $(a_n)_{n\ge1}$ が $\alpha\in\mathbb R$ に**収束する**とは $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\quad |a_n-\alpha|<\varepsilon $$ が成り立つことで、このとき $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ または $a_n\to\alpha$ と書きます。収束しない数列は**発散する**といいます。この記事の $\mathbb N$ は $1$ 以上の整数の集まりです。 「$\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall n\ge N$」の並びが肝心です。$\varepsilon$ が先に与えられ、$N$ は $\varepsilon$ に応じて後から選びます。$\varepsilon$ を小さくすれば、$N$ はふつう大きくなります。たとえば $a_n=1/n$ なら、$\varepsilon=0.01$ に対して $N=101$ が取れます。一般の $\varepsilon$ に対しては $1/N<\varepsilon$ となる $N$ が必要で、そのような $N$ の存在は**アルキメデスの原理**（）が保証します。これで $\lim 1/n=0$ が示されます。 発散には 2 種類あります。「どんな大きな数 $K$ を言われても、ある番号から先の項はすべて $K$ より大きい」が成り立つとき、数列は**正の無限大に発散する**といい $a_n\to\infty$ と書きます。$a_n\to-\infty$ も同様です。$a_n\to\infty$ は「$\infty$ という数に収束する」という意味ではなく、収束はしていません。振動して定まらない数列（たとえば $(-1)^n$）も発散です。 実数列 $(a_n)$ が**正の無限大に発散する**とは、$\forall K\in\mathbb R,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ a_n>K$ が成り立つことをいい、$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ または $a_n\to\infty$ と書く。$\forall K\ \exists N\ \forall n\ge N\ a_n ### 2.2. 極限の基本性質 高校では「極限の公式」として、次の事実を結果だけ使います。ここでは定義から証明します。 実数列 $(a_n)$、$(b_n)$ が $a_n\to\alpha$、$b_n\to\beta$ を満たすとする。このとき次が成り立つ。 1. $(a_n)$ は有界である。すなわち、ある $M>0$ があってすべての $n$ で $|a_n|\le M$。 2. 極限は一意である。$a_n\to\alpha'$ でもあるならば $\alpha=\alpha'$。 3. $a_n+b_n\to\alpha+\beta$、任意の定数 $c$ について $ca_n\to c\alpha$、$a_nb_n\to\alpha\beta$。 4. $\beta\ne0$ ならば、ある番号から先で $b_n\ne0$ であり、$a_n/b_n\to\alpha/\beta$。 5. ある番号から先で $a_n\le b_n$ ならば $\alpha\le\beta$。 6. （はさみうち）ある番号から先で $a_n\le c_n\le b_n$ であり $\alpha=\beta$ ならば、数列 $(c_n)$ も $\alpha$ に収束する。 証明の方針は、どの性質も「$\varepsilon$ を分割して配る」ことです。和なら $\varepsilon/2$ ずつ、積なら誤差の係数をまとめて $\varepsilon$ 以下にします。積では $a_n$ の大きさを抑える必要があるので、先に (1) の有界性を示しておきます。 **(1)** $\varepsilon=1$ に対する $N$ を取ると、$n\ge N$ で $|a_n|\le|\alpha|+|a_n-\alpha|<|\alpha|+1$ です。最初の $N-1$ 個の項の絶対値と $|\alpha|+1$ のうち最大のものを $M$ とすれば、すべての $n$ で $|a_n|\le M$ です。 **(2)** $\alpha\ne\alpha'$ と仮定し、$\varepsilon=|\alpha-\alpha'|/2>0$ とします。$a_n\to\alpha$ から $N_1$ が、$a_n\to\alpha'$ から $N_2$ が取れて、$n\ge N_1$ で $|a_n-\alpha|<\varepsilon$、$n\ge N_2$ で $|a_n-\alpha'|<\varepsilon$ です。$n=\max(N_1,N_2)$ とすると $|\alpha-\alpha'|\le|\alpha-a_n|+|a_n-\alpha'|<2\varepsilon=|\alpha-\alpha'|$ となり、矛盾します。 **(3)** 和については、$\varepsilon>0$ に対し $\varepsilon/2$ で $N_1,N_2$ を取り、$n\ge\max(N_1,N_2)$ で $|(a_n+b_n)-(\alpha+\beta)|\le|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|<\varepsilon$ とします。定数倍は、$c=0$ なら明らかで、$c\ne0$ なら $\varepsilon/|c|$ を使います。積については、(1) より $|a_n|\le M$ とし、 $$ |a_nb_n-\alpha\beta|=|a_n(b_n-\beta)+\beta(a_n-\alpha)|\le M|b_n-\beta|+|\beta||a_n-\alpha| $$ と評価します。$K=M+|\beta|+1$ とおき、$\varepsilon/K$ に対する番号を両方の数列で取れば、右辺は $K\cdot\varepsilon/K=\varepsilon$ 未満です。 **(4)** $\beta\ne0$ なので $\varepsilon=|\beta|/2$ に対する番号 $N_0$ を取ると、$n\ge N_0$ で $|b_n|\ge|\beta|-|b_n-\beta|>|\beta|/2$ です。とくに $b_n\ne0$ です。まず $1/b_n\to1/\beta$ を示します。$n\ge N_0$ で $$ \left|\frac1{b_n}-\frac1\beta\right|=\frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|}\le\frac{2}{\beta^2}|b_n-\beta| $$ なので、$\varepsilon\beta^2/2$ に対する番号を取ればよいのです。あとは (3) の積の規則を $a_n$ と $1/b_n$ に使います。 **(5)** $\alpha>\beta$ と仮定し、$\varepsilon=(\alpha-\beta)/2$ とします。十分大きい $n$ では $a_n>\alpha-\varepsilon=\beta+\varepsilon>b_n$ となり、$a_n\le b_n$ に反します。 **(6)** $\varepsilon>0$ を取る。十分大きい $n$ で $\alpha-\varepsilon (5) で注意してほしいのは、$a_n $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+n}{2n^2-1}$ を求めます。分子・分母を $n^2$ で割ると $\dfrac{3+1/n}{2-1/n^2}$ です。$1/n\to0$、$1/n^2=(1/n)(1/n)\to0$ は (3) から、分子は $3$ に、分母は $2$ に収束します。分母の極限は $0$ でないので (4) が使え、答えは $3/2$ です。 別の例として $\sqrt{n+1}-\sqrt n$ は、$\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$ と有理化します。$0<\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<\dfrac1{\sqrt n}$ で、右辺は $0$ に収束します（$1/\sqrt n<\varepsilon$ は $n>1/\varepsilon^2$ で成り立つ）。はさみうち (6) で答えは $0$ です。 ## 3. 等比数列と無限等比級数 $r$ を実数とする。 1. $|r|<1$ ならば $r^n\to0$、さらに $nr^n\to0$ である。 2. $r>1$ ならば $r^n\to\infty$ である。 3. $r\le-1$ ならば $(r^n)$ は発散する。$r=1$ ならば $r^n=1$ で $1$ に収束する。 **(1)** $r=0$ は明らかです。$r\ne0$ とし、$|r|=\dfrac1{1+h}$ となる $h>0$ を取ります（$|r|<1$ から $h=1/|r|-1>0$）。まず、すべての $n\ge1$ で $$ (1+h)^n\ge1+nh $$ が成り立ちます。$n=1$ は等号で、$(1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h)\ge(1+nh)(1+h)=1+(n+1)h+nh^2\ge1+(n+1)h$ により $n\to n+1$ に進みます（数学的帰納法。）。したがって $|r|^n=\dfrac1{(1+h)^n}\le\dfrac1{1+nh}<\dfrac1{nh}$ です。$\varepsilon>0$ に対し、アルキメデスの原理（）から $N>1/(\varepsilon h)$ を取れば、$n\ge N$ で $|r^n|<\varepsilon$ です。 $nr^n\to0$ のほうは二項定理（）と二項係数の閉じた式（）を使います。$n\ge2$ で $$ (1+h)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkh^k\ge\binom n2h^2=\frac{n(n-1)}2h^2 $$ ですから、$n|r|^n\le\dfrac{2}{(n-1)h^2}$ です。$\varepsilon>0$ に対し $N>1+2/(\varepsilon h^2)$ を取れば、$n\ge N$ で $n|r|^n<\varepsilon$ です。 **(2)** $r=1+h$（$h>0$）とすると $r^n\ge1+nh$ です。$K$ を任意とし、$N>K/h$ を取れば $n\ge N$ で $r^n>K$ です。 **(3)** $r=1$ は明らかです。$r\le-1$ のとき、仮に $r^n\to\gamma$ と収束すると、$r^{n+1}-r^n\to\gamma-\gamma=0$ です（ (3)）。ところが $|r^{n+1}-r^n|=|r-1|\,|r|^n\ge2$ なので、これは $0$ に収束できません。 初項 $a\ne0$、公比 $r$ の無限等比級数 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty ar^k$ は、$|r|<1$ のとき収束し、和は $\dfrac a{1-r}$ である。$|r|\ge1$ のときは発散する。 無限級数の和は、部分和の数列の極限として定義されます（）。$r\ne1$ のとき部分和は $$ S_N=\sum_{k=0}^{N}ar^k=\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r} $$ です（両辺に $1-r$ を掛けて確かめる）。$|r|<1$ なら (1) より $r^{N+1}\to0$ なので、 (3) から $S_N\to a/(1-r)$ です。$|r|\ge1$ のときは $|ar^k|\ge|a|>0$ で、一般項が $0$ に収束しません。収束する級数の一般項は $0$ に収束する（）ので、級数は発散します。 これで、$0.\dot9=0.999\cdots$ が $1$ に**等しい**理由が説明できます。$0.999\cdots$ とは無限級数 $\sum_{k\ge1}9\cdot10^{-k}$、つまり初項 $0.9$、公比 $0.1$ の無限等比級数のことで、その和は $0.9/(1-0.1)=1$ です。「限りなく $1$ に近づく動き」ではなく、部分和 $0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ \dots$ の極限が $1$ なのです（ も参照）。 $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1k$ とする。$H_n\to\infty$ である。とくに無限級数 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1k$ は発散する。 $m\ge0$ について $H_{2^m}\ge1+m/2$ を $m$ についての帰納法で示します。$m=0$ は $H_1=1$ です。$m\to m+1$ では $$ H_{2^{m+1}}-H_{2^m}=\sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac1k\ge2^m\cdot\frac1{2^{m+1}}=\frac12 $$ です（$2^m$ 個の項がどれも $1/2^{m+1}$ 以上）。数列 $(H_n)$ は単調に増加するので、$n\ge2^m$ ならば $H_n\ge H_{2^m}\ge1+m/2$ です。$K$ を任意とし、$m$ を $1+m/2>K$ となるように取れば、$n\ge2^m$ で $H_n>K$ です。したがって $H_n\to\infty$ です。収束する数列は有界（ (1)）なので、$(H_n)$ は収束せず、級数は発散します。 一般項 $1/k$ は $0$ に収束するのに、和は発散します。「一般項が $0$ に収束すれば級数が収束する」という逆は成り立ちません。上の証明は、$1/2$ ずつ足りない分をまとめて拾い上げるという、高校の数列の問題でもよく使う型です。 ## 4. 単調有界数列とネイピア数 $e$ ### 4.1. 単調有界数列の収束 極限の値がわからないとき、「収束するかどうか」を判定する道具が必要になります。もっとも基本的なものが次の定理です。 > 単調に増加し、かつ上に有界な実数列は収束する。（） この定理の背後にあるのが[実数の連続性](/mathematics/foundations/what-is-a-number#ax-completeness)（上限の存在）です。有理数の世界では成り立たないことが、$\sqrt2$ に近づく有理数列の例でわかります（）。単調に減少して下に有界な数列については、符号を変えて同じことが言えます。 ### 4.2. ネイピア数 $e$ の定義 数列 $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ は単調に増加し、すべての $n$ で $2\le a_n<3$ を満たす。したがって収束する。この極限を**ネイピア数** $e$ と呼び、$2\le e\le3$ である。 二項定理（）と $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$（）より $$ a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac1{n^k}=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right) $$ です（$\dfrac{n!}{(n-k)!\,n^k}=\dfrac nn\cdot\dfrac{n-1}n\cdots\dfrac{n-k+1}n$ に注意）。 **単調性。** $n$ を $n+1$ に増やすと、各項に現れる因子 $1-j/n$ は $1-j/(n+1)$ に増え、さらに項の個数が $1$ つ増えます（増える項は $0$ 以上）。すべて非負なので $a_n\le a_{n+1}$ です。 **有界性。** 下からは、$k=0,1$ の項だけで $a_n\ge1+n\cdot\frac1n=2$ です。上からは、因子がすべて $1$ 以下なので $a_n\le\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}$ で、$k!\ge2^{k-1}$（$k\ge1$）より $$ a_n\le1+\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k-1}}=1+2\left(1-\frac1{2^n}\right)<3 $$ です。 単調増加で上に有界なので、単調有界定理（）から収束します。極限が $2$ 以上 $3$ 以下になることは (5) です。 $e$ の値は $2.71828\cdots$ です。複利計算の言葉で言えば、年利 $100\%$ を $n$ 回に分けて複利にすると、元金は 1 年で $\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n$ 倍になります。分ける回数を増やすほど増えますが、上限は $e$ 倍を超えません。
3 e 2 1 10 n
### 4.3. $e$ の級数表示と無理性 $\displaystyle e=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$ である。 証明の方針は、$e\le s$ と $e\ge s$ の 2 方向に分けることです。前者は $a_n\le s_n\le s$ を使って上から押さえます。後者は、まず項数 $m$ を固定して $n\to\infty$ とし、そのあとで $m\to\infty$ とします。動かす変数は一度に 1 つだけです。 $s_m=\sum_{k=0}^m1/k!$ とおきます。これは増加する数列で、 の証明と同じ評価から $s_m<3$ です。したがって単調有界定理により $s=\lim s_m$（級数の和）が存在します。 $e\le s$ を示します。 の証明の式で因子を $1$ 以下とみなせば $a_n\le s_n$ です。また $m\ge n$ で $s_n\le s_m$ なので、$m\to\infty$ として（ (5)）$s_n\le s$ です。極限を取ると (5) より $e\le s$ です。 $e\ge s$ を示します。$m$ を固定し $n\ge m$ とすると、$a_n$ の和の項を $k\le m$ に限って捨てても非負なので $$ a_n\ge\sum_{k=0}^m\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right) $$ です。$n\to\infty$ とすると、右辺は有限個の項の和で、各項の因子は $1$ に収束するので、 (3) から右辺は $s_m$ に収束します。(5) より $e\ge s_m$ です。これがすべての $m$ で成り立つので、$m\to\infty$ として $e\ge s$ です。 $e$ は無理数である。 まず、$e-s_n$ を評価します。$N>n$ に対し、$(n+1+j)!\ge(n+1)!\,(n+2)^j$ より $$ \sum_{k=n+1}^N\frac1{k!}\le\frac1{(n+1)!}\sum_{j=0}^{N-n-1}\frac1{(n+2)^j}\le\frac1{(n+1)!}\cdot\frac{n+2}{n+1} $$ です。$N\to\infty$ とすると（ と (3)(5)） $$ 0n$ で $s_N-s_n\ge\frac1{(n+1)!}$ の極限を取って $e-s_n\ge\frac1{(n+1)!}$ となることから）。 $e=p/q$（$p,q$ は正の整数）と仮定し、$n=q$ とします。$n!\,e=(q-1)!\,p$ は整数、$n!\,s_n=\sum_{k=0}^n n!/k!$ も整数なので、$n!\,(e-s_n)$ は整数です。ところが上の評価から $0 ## 5. 極限を求めるための道具 ### 5.1. Stolz–Cesàro の定理 分数の極限を求める定番の道具が、分母と分子を「階差」に置き換える次の定理です。関数の極限に対する l'Hôpital の定理の数列版にあたります。 $(b_n)$ を狭義単調増加で $b_n\to\infty$ を満たす実数列、$(a_n)$ を任意の実数列とする。 $$ \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L\in\mathbb R $$ ならば $\dfrac{a_n}{b_n}\to L$ である。 証明の方針は、階差の比が $L$ に近い範囲（$n\ge N$）を足し合わせて、$a_m/b_m$ と $L$ の差を評価することです。ここで $N$ は一度決めたら動かさない固定の番号で、あとで大きくするのは $m$ だけです。 $\varepsilon>0$ を取る。$b_n\to\infty$ なので、番号を後ろへずらして $b_N>0$ としてよい。仮定から（必要なら $N$ をさらに大きく取って）$n\ge N$ で $$ \bigl|(a_{n+1}-a_n)-L(b_{n+1}-b_n)\bigr|<\frac\varepsilon2(b_{n+1}-b_n) $$ です（$b_{n+1}-b_n>0$ なので両辺に掛けてよい）。$n=N,N+1,\dots,m-1$ の分を足し合わせると、$m>N$ で $$ \bigl|(a_m-a_N)-L(b_m-b_N)\bigr|<\frac\varepsilon2(b_m-b_N) $$ です。ここで $b_n\to\infty$ より、$m$ が大きければ $b_m>0$ としてよいので $$ \left|\frac{a_m}{b_m}-L\right|\le\frac{|a_N-Lb_N|}{b_m}+\frac{|(a_m-a_N)-L(b_m-b_N)|}{b_m}<\frac{|a_N-Lb_N|}{b_m}+\frac\varepsilon2 $$ です（$b_m-b_N $b_n=n$ とすると、次の「平均の収束」が得られます。 $a_n\to L$ ならば、$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n\to L$ である。 $A_n=a_1+\cdots+a_n$ とおき、 を $(A_n)$ と $b_n=n$ に使う。$(A_{n+1}-A_n)/((n+1)-n)=a_{n+1}\to L$ なので $A_n/n\to L$ です。 $0 を、分子の数列 $(c_n)$ と分母の数列 $b_n=n$（狭義単調増加で $\infty$ に発散）に使うと、$c_n/n\to1$、すなわち $na_n\to1$ です。$a_n$ は $0$ に収束しますが、その速さは $1/n$ とほぼ同じです。 ### 5.2. 相加相乗平均の漸化式（AGM） $a_0,b_0$ を正の実数とし、 $$ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2,\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} $$ で $(a_n),(b_n)$ を定める（正の実数の平方根の存在と一意性は による）。このとき $(a_n)$ と $(b_n)$ はともに収束し、極限は一致する。 正の実数 $x,y$ について $\dfrac{x+y}2-\sqrt{xy}=\dfrac12(\sqrt x-\sqrt y)^2\ge0$ なので、$a_{n+1}\ge b_{n+1}$ がすべての $n\ge0$ で成り立ちます。そこで $n\ge1$ では $a_n\ge b_n$ です。このとき $$ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\le a_n,\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\ge\sqrt{b_nb_n}=b_n $$ なので、$n\ge1$ で $(a_n)$ は減少し $(b_n)$ は増加します。さらに $b_1\le b_n\le a_n\le a_1$ なので、$(a_n)$ は下に有界、$(b_n)$ は上に有界です。単調有界定理（）で、$a_n\to\alpha$、$b_n\to\beta$ と収束します。漸化式 $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$ の両辺で極限を取ると、 (3) から $\alpha=(\alpha+\beta)/2$、すなわち $\alpha=\beta$ です。 この共通の極限を $a_0,b_0$ の**算術幾何平均**（AGM）といいます。Gauss がこの平均を楕円積分と結びつけたことは有名ですが、ここでは触れません。 ### 5.3. $a_{n+1}=f(a_n)$ 型の漸化式 入試で「漸化式で定まる数列の極限」を求める問題は、ほとんどが次の 3 つの型に分類できます。 $A\subseteq\mathbb R$、$f:A\to\mathbb R$、$c\in A$ とする。 1. $f$ が $c$ で連続（）で、$A$ の点からなる数列 $(x_n)$ が $x_n\to c$ ならば、$f(x_n)\to f(c)$ である。 2. 逆に、$c$ に収束する $A$ の点からなるすべての数列 $(x_n)$ について $f(x_n)\to f(c)$ ならば、$f$ は $c$ で連続である。 **(1)** $\varepsilon>0$ に対し、連続性の定義から $\delta>0$ が取れて、$x\in A$、$|x-c|<\delta$ ならば $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ です。$x_n\to c$ なので $\delta$ に対する番号 $N$ を取れば、$n\ge N$ で $|x_n-c|<\delta$、したがって $|f(x_n)-f(c)|<\varepsilon$ です。 **(2)** 対偶を示します。$f$ が $c$ で連続でないとすると、ある $\varepsilon>0$ があって、どの $\delta>0$ に対しても $|x-c|<\delta$ かつ $|f(x)-f(c)|\ge\varepsilon$ となる $x\in A$ が存在します。$\delta=1/k$ に対する $x$ を $x_k$ とすれば、$x_k\to c$ ですが $f(x_k)\not\to f(c)$ です。 次の定理に出てくる**不動点**とは、$f(x)=x$ を満たす点のことです。数列が収束するなら、その行き先は不動点しかありえません。証明は、(1) 極限は不動点、(2) 単調な場合は単調有界定理、(3) 縮小型では項どうしの差がいくらでも小さくなること、の順に進みます。 $I=[p,q]$ を閉区間、$f:I\to I$ を連続関数とし、$a_1\in I$、$a_{n+1}=f(a_n)$ とおく。 1. （極限は不動点）$a_n\to L$ ならば $L\in I$ かつ $f(L)=L$ である。 2. （単調型）$f$ が $I$ 上で単調に増加（$x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)$）ならば、数列 $(a_n)$ は単調で、$f$ の不動点に収束する。 3. （縮小型）ある定数 $0\le k<1$ があって $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$（$x,y\in I$）ならば、$f$ の不動点 $\alpha$ はただ 1 つで、$|a_n-\alpha|\le k^{n-1}|a_1-\alpha|$ であり、$a_n\to\alpha$ である。 **(1)** $a_n\in I$ で $I$ は閉区間なので、 (5) から $p\le L\le q$ です。$f$ は $L$ で連続なので (1) より $a_{n+1}=f(a_n)\to f(L)$ です。一方 $a_{n+1}\to L$ でもあり、極限の一意性（ (2)）から $f(L)=L$ です。 **(2)** $a_2\ge a_1$ ならば、$f$ の単調増加性を繰り返し使って $a_3=f(a_2)\ge f(a_1)=a_2$、以下同様に $a_{n+1}\ge a_n$（帰納法）です。$a_2\le a_1$ ならば同様に $a_{n+1}\le a_n$ です。いずれの場合も $(a_n)$ は単調で $I$ に含まれるので有界であり、単調有界定理（）で収束します。極限は (1) より不動点です。 **(3)** 一意性：不動点が $\alpha,\beta$ の 2 つあれば $|\alpha-\beta|=|f(\alpha)-f(\beta)|\le k|\alpha-\beta|$ から $(1-k)|\alpha-\beta|\le0$、したがって $\alpha=\beta$ です。存在と収束：$|a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|\le k|a_n-a_{n-1}|$ を繰り返して $|a_{n+1}-a_n|\le k^{n-1}|a_2-a_1|$ です。$m>n$ のとき三角不等式で $$ |a_m-a_n|\le\sum_{j=n}^{m-1}|a_{j+1}-a_j|\le\frac{k^{n-1}}{1-k}|a_2-a_1| $$ で、右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束します（）。したがって $(a_n)$ は[コーシー列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy#def-cauchy)で、実数の完備性（）により収束します。極限 $\alpha$ は (1) より不動点で、一意性から求めるものです。最後に $|a_{n+1}-\alpha|=|f(a_n)-f(\alpha)|\le k|a_n-\alpha|$ を $n$ について繰り返せば誤差の評価が出ます。 グラフで見ると、$a_{n+1}=f(a_n)$ は「$y=f(x)$ で縦に動き、$y=x$ で横に折り返す」階段として追えます。次の図で、階段が不動点（2 つのグラフの交点）に吸い込まれる様子を見てください。
y=f(x) と y=x のグラフの間を、点 a_1 から折れ線の階段で順に進む動画。左の図では階段が √2 の近くで一点に収まり、右の図では左右に振れながら内側へ渦を巻いて不動点 5/9 に近づく。
$f(x)=\dfrac x2+\dfrac1x$ とし、$a_1=1$、$a_{n+1}=f(a_n)$ とします。$x\ge1$ で $f(x)\ge\sqrt2$（相加相乗平均）、$f(x)\le\dfrac x2+1\le2$（$x\in[1,2]$）なので、$f$ は $I=[1,2]$ を $I$ に写します。また $f'(x)=\dfrac12-\dfrac1{x^2}\in\left[-\dfrac12,\dfrac14\right]$ なので、平均値の定理（）から $|f(x)-f(y)|\le\dfrac12|x-y|$ で縮小型です。不動点は $x=\dfrac x2+\dfrac1x$ すなわち $x^2=2$ の正の解で、$a_n\to\sqrt2$ です。誤差は $|a_n-\sqrt2|\le2^{-(n-1)}(\sqrt2-1)$ 以下で、実際はこれよりはるかに速く（ほぼ 2 乗の速さで）縮みます。 ## 6. 関数の極限と連続性・中間値の定理 [関数の極限](/mathematics/calculus/limits-and-continuity#def-limit) $\lim_{x\to a}f(x)=L$ の ε-δ による定義、極限の四則・はさみうち、数列による特徴づけ、連続性、合成関数の連続性、中間値の定理は、大学の微分積分学の記事に定義から証明されています。この記事では再証明せず、次のように指して使います。 - 極限の定義：、連続の定義：。 - 極限の四則：、はさみうち：、合成関数の連続性：。 - 多項式関数・有理関数は連続：。 - 数列との関係（$x\to a$ の極限は、$a$ に近づく数列に沿った極限と同じ）：。 - 中間値の定理：。 高校の言い方との対応を確認しておきます。高校では「$x\to a$ のとき $f(x)\to L$」と書きますが、定義には「$x\ne a$」という条件が入っています（$x=a$ での値 $f(a)$ は極限に影響しません）。連続であるとは、極限が存在してその値が $f(a)$ に等しいことでした。「連続関数のグラフはつながっている」という高校の説明をきちんと言い直したものが、中間値の定理です。 $f(x)=x^3-3x+1$ は多項式関数なので連続です。$f(-2)=-1<0$、$f(-1)=3>0$、$f(0)=1>0$、$f(1)=-1<0$、$f(2)=3>0$ です。中間値の定理（）から、$f(x)=0$ は区間 $(-2,-1)$、$(0,1)$、$(1,2)$ のそれぞれに少なくとも 1 つ解を持ちます。3 次方程式の解は高々 3 つ（因数定理）なので、実数解はちょうど 3 つあり、各区間に 1 つずつです。同じ方法で区間を半分ずつに絞っていく（二分法）と、解を好きな精度で求められます。 ### 6.1. 無限大での極限 数列に対する「$n\to\infty$」に対応して、関数にも「$x\to\infty$」の極限があります。 $f$ を区間 $[c,\infty)$ で定義された実数値関数とする。 $$ \forall\varepsilon>0,\ \exists M,\ \forall x\ge M,\quad|f(x)-L|<\varepsilon $$ が成り立つとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ と書く。また $\forall K\ \exists M\ \forall x\ge M\ f(x)>K$ が成り立つとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ と書く。 $f$ を $[c,\infty)$ 上の関数、$L\in\mathbb R$ とする。次の 2 条件は同値である。 1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$。 2. $[c,\infty)$ の点からなる $x_n\to\infty$ を満たす任意の数列 $(x_n)$ について、$f(x_n)\to L$。 **(1) ならば (2).** $\varepsilon>0$ に対し、(1) の $M$ を取ります。$x_n\to\infty$ なので $N$ があって $n\ge N$ で $x_n>M$、したがって $|f(x_n)-L|<\varepsilon$ です。 **(2) ならば (1).** 対偶を示します。(1) が成り立たないとすると、ある $\varepsilon>0$ があって、どの $M$ に対しても $x\ge M$ かつ $|f(x)-L|\ge\varepsilon$ となる $x$ が存在します。$M=n$ に対応する $x$ を $x_n$ とすれば、$x_n\ge n$ より $x_n\to\infty$ ですが、$f(x_n)\to L$ ではありません。 この同値のおかげで、$x\to\infty$ の極限も の四則・はさみうちと同じ形で計算できます。 ## 7. パンケーキ定理：中間値の定理の応用 平らなテーブルの上に、形の違う 2 枚のパンケーキがあるとします。包丁を 1 回まっすぐ入れて、**2 枚とも同時に半分に切る**ことはできるでしょうか。形がどんなに歪んでも、できます。これが 2 次元の「パンケーキ定理」（ham sandwich 定理の平面版）です。証明は 3 つの段階です。(i) 方向を決めれば、1 枚を 2 等分する直線がちょうど 1 本ある。(ii) その直線を方向とともに動かすと、もう 1 枚の「左側の面積 − 半分」は連続に変わる。(iii) 向きを反対にすると符号が逆になるので、中間値の定理で $0$ になる方向がある。 以下の補題は、「どの方向にも 2 等分する直線がただ 1 本あり、方向を少し変えれば直線も少ししか動かない」ことを示すためのものです。長い証明ですが、前半が「ある・ただ 1 本」、後半が「連続に動く」にあたります。 厳密に述べるために、パンケーキを平面の有界な「領域」（空でない連結な開集合。**開集合**とは、どの点にもその周りの小さな円板が含まれる集合のことです。**連結**とは、互いに交わらない 2 つの空でない開集合の和には分けられないこと）とし、面積を[ルベーグ測度](/mathematics/real-analysis/lebesgue-measure#def-lebesgue-measure) $m$（高校の面積を、もっと複雑な図形にまで広げたもの）で測ります（）。以下で $\cos,\sin$ は、[指数・対数・三角関数をきちんと定義する](/mathematics/hs-analysis/elementary-functions) で級数から定義した関数で、微分可能（）、したがって連続（）です。実数 $\theta$ に対し単位ベクトル $u(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ を取り、実数 $c$ に対し $$ H(\theta,c)=\{x\in\mathbb R^2:\ x\cdot u(\theta) 任意の $\theta,c$ に対し $m(\ell(\theta,c))=0$ である。 $O=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ とおくと、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$（）より $O^{\mathsf T}O=I$ で、$O$ は直交行列です。$O^{\mathsf T}x$ の第 1 成分は $x\cdot u(\theta)$ なので、$\ell(\theta,c)=O(\{y\in\mathbb R^2:y_1=c\})$ です。座標超平面 $\{y_1=c\}$ の測度は $0$（）で、直交行列は測度を変えません（）。 $E\subseteq\mathbb R^2$ を有界な可測集合とする。$(\theta_k,c_k)\to(\theta,c)$ ならば $\varphi_E(\theta_k,c_k)\to\varphi_E(\theta,c)$ である。 $\varphi_E(\theta,c)=\int 1_E\,1_{H(\theta,c)}\,dm$ です。$x\in\mathbb R^2$ を $x\notin\ell(\theta,c)$ とすると、$\cos,\sin$ の連続性から $x\cdot u(\theta_k)-c_k\to x\cdot u(\theta)-c\ne0$ なので、十分大きい $k$ で $x\cdot u(\theta_k)-c_k$ の符号は $x\cdot u(\theta)-c$ と同じです。すなわち $1_{H(\theta_k,c_k)}(x)\to1_{H(\theta,c)}(x)$ です。例外は直線 $\ell(\theta,c)$ だけで、 によりそれは零集合です。また $0\le 1_E1_{H(\theta_k,c_k)}\le1_E$ で、$E$ は有界なので $m(E)<\infty$、すなわち $1_E$ は可積分です。ルベーグの優収束定理（）から積分が収束します。 $A\subseteq\mathbb R^2$ を有界な領域とする。 1. 各 $\theta$ に対し、$\varphi_A(\theta,c)=m(A)/2$ を満たす $c$ がちょうど 1 つ存在する。それを $c_A(\theta)$ と書く。 2. $\theta\mapsto c_A(\theta)$ は連続である。 3. $c_A(\theta+\pi)=-c_A(\theta)$ である。 $A$ は空でない開集合なので、ある開正方形を含み、$m(A)>0$ です（ (1)）。$A$ は有界なので、ある $R>0$ があって $A\subseteq\{|x| と (2) により連続なので、中間値の定理（）より、区間 $[-R,R]$ で値 $m(A)/2$ を取る $c$ が存在します。 **(1) 一意性。** $c_1c'\}$ とおくと、直線 $\{x\cdot u=c'\}$ は $A$ と交わらないので $A=A_-\cup A_+$ で、$A_\pm$ はどちらも開集合、互いに交わりません。$A$ は連結なので一方は空です。$A_-=\varnothing$ なら $\varphi_A(\theta,c_1)=0$、$A_+=\varnothing$ なら $\varphi_A(\theta,c_2)=m(A)$ で、どちらも $m(A)/2$ に反します。 **(2)** $\theta_k\to\theta$ とします。$|c_A(\theta_k)|0$ と部分列で $|c_A(\theta_{k_j})-c_A(\theta)|\ge\varepsilon$ となるものがあります。有界なのでさらに[部分列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy#def-subsequence)を取って $c_A(\theta_{k_j})\to c^*$ とできます（）。このとき より $\varphi_A(\theta,c^*)=\lim\varphi_A(\theta_{k_j},c_A(\theta_{k_j}))=m(A)/2$ なので、(1) の一意性から $c^*=c_A(\theta)$ ですが、$|c^*-c_A(\theta)|\ge\varepsilon$ に反します。したがって $c_A(\theta_k)\to c_A(\theta)$ で、 (2) により $c_A$ は連続です。 **(3)** $u(\theta+\pi)=-u(\theta)$（）なので $H(\theta+\pi,-c)=\{x\cdot u(\theta)>c\}$ です。直線の面積が $0$ なので $\varphi_A(\theta+\pi,-c_A(\theta))=m(A)-\varphi_A(\theta,c_A(\theta))-0=m(A)/2$ です。(1) の一意性から $c_A(\theta+\pi)=-c_A(\theta)$ です。 $A,B\subseteq\mathbb R^2$ を有界な領域とする。このとき、ある直線 $\ell$ が存在して、$\ell$ の両側にある $A$ の部分の面積はどちらも $m(A)/2$ であり、$B$ の部分の面積もどちらも $m(B)/2$ である。 $g(\theta)=\varphi_B\bigl(\theta,c_A(\theta)\bigr)-m(B)/2$ とおきます。$c_A$ は連続（ (2)）で、$\varphi_B$ は により連続なので、 から $g$ は連続です（$\theta_k\to\theta$ なら $(\theta_k,c_A(\theta_k))\to(\theta,c_A(\theta))$）。 $g(\theta+\pi)=-g(\theta)$ を示します。 (3) と $u(\theta+\pi)=-u(\theta)$ により $$ \varphi_B\bigl(\theta+\pi,c_A(\theta+\pi)\bigr)=m\bigl(B\cap\{x\cdot u(\theta)>c_A(\theta)\}\bigr)=m(B)-\varphi_B\bigl(\theta,c_A(\theta)\bigr) $$ です（直線の面積は $0$）。したがって $g(\theta+\pi)=m(B)/2-\varphi_B(\theta,c_A(\theta))=-g(\theta)$ です。 とくに $g(0)$ と $g(\pi)=-g(0)$ は符号が反対（または共に $0$）なので、中間値の定理（）より $g(\theta^*)=0$ となる $\theta^*\in[0,\pi]$ があります。直線 $\ell=\ell(\theta^*,c_A(\theta^*))$ が求めるものです。$A$ の片側の面積は $c_A$ の定義から $m(A)/2$ で、反対側も $m(A)-m(A)/2-0$ です。$B$ は $g(\theta^*)=0$ から片側が $m(B)/2$ で、反対側も同じです。 3 次元では、同じ考え方で「3 つの立体を 1 枚の平面で同時に 2 等分できる」（ham sandwich 定理）が成り立ちますが、証明には Borsuk–Ulam の定理（球面から平面へのどんな連続写像も、ある対蹠点の組 $x,-x$ を同じ値に写す）が必要で、中間値の定理だけでは足りません。この記事では主張と文献（参考文献の Matoušek）を示すだけにとどめます。 ## 8. 大学ではどこへ続くか - **ε-δ 論法と連続性。** 関数の極限・連続性・一様連続性を ε-δ で系統的に扱うのは [極限と連続性](/mathematics/calculus/limits-and-continuity) です。この記事で数列に使った「$\varepsilon$ を分割して配る」証明の型が、そのまま関数の極限にも使われます。 - **実数の完備性。** 単調有界定理は、実数の連続性公理と同値です。コーシー列・ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理・上限の存在との関係は [完備性とコーシー列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy) で整理されます。 - **級数。** 無限等比級数と調和級数の先にある、比較判定法・比判定法・絶対収束・条件収束は [級数と収束判定](/mathematics/calculus/series-and-convergence) です。 - **次の記事。** $e$ を極限として定義したところから、指数関数・対数関数・三角関数を級数で厳密に定義し直すのが [指数・対数・三角関数をきちんと定義する](/mathematics/hs-analysis/elementary-functions) です。この記事の と がそこで使われます。 ## 9. 演習 $a_1=1$、$a_{n+1}=1+\dfrac1{a_n}$ で定まる数列は、黄金比 $\dfrac{1+\sqrt5}2$ に収束することを示せ。 $f(x)=1+1/x$ とおく。$a_2=2$ で、$I=\left[\tfrac32,2\right]$ では $f(x)\in\left[\tfrac32,\tfrac53\right]\subseteq I$ なので、$f$ は $I$ を $I$ に写す。さらに $x,y\in I$ で $$ |f(x)-f(y)|=\left|\frac1x-\frac1y\right|=\frac{|x-y|}{xy}\le\frac49|x-y| $$ （$xy\ge\tfrac94$）なので縮小型である。$a_2\in I$ から出発する数列 $(a_n)_{n\ge2}$ に (3) を使うと、不動点（$x=1+1/x$、すなわち $x^2-x-1=0$ の $I$ 内の解 $\frac{1+\sqrt5}2$）に収束する。 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}$ を、 を使って求めよ。 $a_n=1^2+\cdots+n^2$、$b_n=n^3$（狭義単調増加で $\infty$ に発散）とすると $$ \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)^3-n^3}=\frac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1}=\frac{(1+1/n)^2}{3+3/n+1/n^2}\to\frac13 $$ である。したがって極限は $1/3$。 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ は収束することを示せ。 $k\ge2$ で $\dfrac1{k^2}<\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$ だから、$S_n<1+\left(1-\dfrac1n\right)<2$ である。$(S_n)$ は単調に増加して上に有界なので、単調有界定理（）により収束する。（極限の値が $\pi^2/6$ であることはこの記事の範囲外。） ## 参考文献 - 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 第 I 章（実数と数列）。 - 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 第 1 章（基本的な概念）。 - W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 3（数列と級数）。 - G. Pólya, G. Szegő, *Problems and Theorems in Analysis I*, Springer — 数列と級数の章（Stolz–Cesàro の定理の使い方）。 - A. H. Stone, J. W. Tukey, "Generalized 'sandwich' theorems", *Duke Mathematical Journal* 9 (1942), 356–359 — ham sandwich 定理。 - J. Matoušek, *Using the Borsuk–Ulam Theorem*, Springer, 2003 — 3 次元の ham sandwich 定理。