漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ の収束

定理 5.6（「数列と関数の極限」§5）・ ✓公理まで証明済み

$I=[p,q]$ を閉区間、 $f:I\to I$ を連続関数とし、 $a_1\in I$ 、 $a_{n+1}=f(a_n)$ とおく。

（極限は不動点） $a_n\to L$ ならば $L\in I$ かつ $f(L)=L$ である。
（単調型） $f$ が $I$ 上で単調に増加（ $x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ ）ならば、数列 $(a_n)$ は単調で、 $f$ の不動点に収束する。
（縮小型）ある定数 $0\le k<1$ があって $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ （ $x,y\in I$ ）ならば、 $f$ の不動点 $\alpha$ はただ 1 つで、 $|a_n-\alpha|\le k^{n-1}|a_1-\alpha|$ であり、 $a_n\to\alpha$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
等比数列 $r^n$ の極限✓命題 3.1・数列と関数の極限
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 二項定理✓定理 7.3・数え上げと母関数
  - 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
  - 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列

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累乗の塔の収束範囲✓定理 10.3・微分法とその応用

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