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連続関数と数列の極限

命題 5.5（「数列と関数の極限」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A\subseteq\mathbb R$ 、 $f:A\to\mathbb R$ 、 $c\in A$ とする。

$f$ が $c$ で連続（定義 5.1［極限と連続性］）で、 $A$ の点からなる数列 $(x_n)$ が $x_n\to c$ ならば、 $f(x_n)\to f(c)$ である。
逆に、 $c$ に収束する $A$ の点からなるすべての数列 $(x_n)$ について $f(x_n)\to f(c)$ ならば、 $f$ は $c$ で連続である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 10 件

累乗の塔の収束範囲✓定理 10.3・微分法とその応用
$a^x =$ exp(x log a)✓定理 4.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
$1^∞$ 型の極限✓定理 5.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
指数関数の単調性・連続性・値域✓命題 4.3・指数関数と対数関数
指数法則（累乗の累乗）✓命題 4.4・指数関数と対数関数
漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ の収束✓定理 5.6・数列と関数の極限
2 等分する直線は方向ごとにただ 1 本で、連続に動く✓補題 7.3・数列と関数の極限
パンケーキ定理（平面）✓定理 7.4・数列と関数の極限
秘書問題✓定理 6.2・確率の発展

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