$1^∞$ 型の極限

定理 5.1（「指数・対数・三角関数をきちんと定義する」§5）・ ✓公理まで証明済み

数列 $(a_n)$ は $a_n>-1$ かつ $a_n\to0$ を満たし、実数列 $(b_n)$ について $a_nb_n\to c$ （ $c\in\mathbb R$ ）とする。このとき

(1+a_n)^{b_n}\to\exp c

である。（左辺は $\exp(b_n\log(1+a_n))$ であり、定理 4.3 により $(1+a_n)^{b_n}$ と同じ。）

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 66 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自然対数の性質✓定理 4.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- exp 1 = e✓系 3.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - e の級数表示✓定理 4.2・数列と関数の極限
    $(1+1/n)^n$ の収束とネイピア数 e✓定理 4.1・数列と関数の極限この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
    上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
    等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定この先をたどる →
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
    一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定この先をたどる →
  - ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
    ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定この先をたどる →
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
    微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限

これを使っている定理証明で参照している 1 件

exp x = lim (1 $+ x/n)^n$ ✓定理 5.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

1∞1^∞1∞ 型の極限

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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$1^∞$ 型の極限

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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