一様収束極限の連続性

$E \subseteq \mathbb{R}$、$f_n \colon E \to \mathbb{R}$（$n \in \mathbb{N}$）、$f \colon E \to \mathbb{R}$ とし、次を仮定する。

1. 点 $c \in E$ において、すべての $n$ について $f_n$ は連続である。すなわち $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in E,\ |x - c| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(c)| < \varepsilon$。
2. $(f_n)$ は $E$ 上 $f$ に一様収束する。

このとき $f$ は $c$ で連続である。特に、すべての $f_n$ が $E$ 上連続で $f_n \rightrightarrows f$ ならば、$f$ は $E$ 上連続である。