数学 › 高校数学：関数と微分積分 › 数列と関数の極限

等比数列 $r^n$ の極限

命題 3.1（「数列と関数の極限」§3）・ ✓公理まで証明済み

$r$ を実数とする。

$|r|<1$ ならば $r^n\to0$ 、さらに $nr^n\to0$ である。
$r>1$ ならば $r^n\to\infty$ である。
$r\le-1$ ならば $(r^n)$ は発散する。 $r=1$ ならば $r^n=1$ で $1$ に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
- 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
- 整列性公理 3.1・証明の技術
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
二項定理✓定理 7.3・数え上げと母関数
- 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限

これを使っている定理証明で参照している 5 件

arctan のべき級数✓命題 10.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
無限等比級数の収束条件と和✓命題 3.2・数列と関数の極限
漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ の収束✓定理 5.6・数列と関数の極限
停止までの回数の期待値✓定理 2.1・確率の発展
破産問題✓定理 3.1・確率の発展

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