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停止までの回数の期待値

定理 2.1（「確率の発展」§2）・ ✓公理まで証明済み

成功確率 $p$ （ $0<p\le1$ ）の試行を独立に繰り返し、最初の成功までの回数を $T$ とする。 $E[\min(T,N)]=\dfrac{1-(1-p)^N}p$ で、これは $N\to\infty$ で $\dfrac1p$ に増加して収束する。
公正なコイン（表の確率 $\frac12$ ）を投げ続け、表が 2 回連続で出るまでの回数を $T$ とする。 $E[\min(T,N)]$ は $N$ について単調増加で、 $N\to\infty$ で $6$ に収束する。また、 $m$ 回投げて表が 2 回連続で出ない確率を $q_m$ とすると、 $q_m\le\left(\frac34\right)^{\lfloor m/2\rfloor}$ であり、とくに $q_m\to0$ （ $m\to\infty$ ）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

直積空間の性質✓命題 4.2・確率
等比数列 $r^n$ の極限✓命題 3.1・数列と関数の極限
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 二項定理✓定理 7.3・数え上げと母関数
  - 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Penney のゲーム✓命題 8.1・確率の発展

関連するノック 2 問