数列の収束・有界性・単調性

順序体 $K$ の元の列 $(a_n)_{n \ge 1}$ について、次のように定める。

• $L \in K$ に収束するとは、$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |a_n - L| < \varepsilon$ が成り立つことをいい、$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ または $a_n \to L$ と書く。
• 有界であるとは、ある $M > 0$ が存在して、すべての $n$ について $|a_n| \le M$ となることをいう。
• 単調増加であるとは、すべての $n$ について $a_n \le a_{n+1}$ となることをいう。単調減少は不等号を逆にしたものである。