数学 › 高校数学：関数と微分積分 › 数列と関数の極限

半平面との共通部分の面積は連続

補題 7.2（「数列と関数の極限」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 77 件、定義なども含めて 92 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 直線の面積は 0✓補題 7.1・数列と関数の極限

  • cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

    • 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

      • 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面 この先をたどる →
      • exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する この先をたどる →
    • cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

      • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
      • ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束 この先をたどる →
      • 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する この先をたどる →
      • 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束 この先をたどる →
  • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
  • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 2 等分する直線は方向ごとにただ 1 本で、連続に動く✓補題 7.3・数列と関数の極限
• パンケーキ定理（平面）✓定理 7.4・数列と関数の極限