ファトゥの補題

補題 6.1（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$f_n : X \to [0,\infty]$ （ $n \in \mathbb{N}$ ）を可測関数の列とする。単調性も収束も仮定しない。このとき

\int_X \liminf_{n\to\infty} f_n \,d\mu \ \le\ \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n \,d\mu

が成り立つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hartogs の補題✓補題 3.4・多変数複素関数論
体積関数の性質✓命題 6.5・Lorentz 多様体の因果構造
Leray–Hopf の弱解の存在（トーラス）✓定理 5.2・Navier–Stokes 方程式 I
Birkhoff の各点エルゴード定理✓定理 5.2・エルゴード定理
確率収束から L¹ 収束へ✓補題 2.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
伊藤積分の 4 次モーメント✓補題 3.5・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
Kingman の劣加法エルゴード定理✓定理 2.4・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
定理 7.2✓Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
閾値での感受率と相関長の発散✓補題 2.10・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部