数学 › 未解決問題と大定理 › Navier–Stokes 方程式 I

Leray–Hopf の弱解の存在（トーラス）

定理 5.2（「Navier–Stokes 方程式 I」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 117 件、定義なども含めて 141 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
    • 第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

    • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
    • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
  • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入

    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
• ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

  • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
• Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性

  • 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
  • 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
  • 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
  • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
• 最大解の存在と一意性✓系 4.2・解の存在と一意性

  • 延長と最大解定義 6.1・常微分方程式の初等解法
  • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
  • 最大解の存在と一意性✓定理 6.2・常微分方程式の初等解法
• 三重線形形式の反対称性✓補題 3.2・Navier–Stokes 方程式 I

  • n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数 この先をたどる →
• 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性

  • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
• Arzelà–Ascoli の定理（点列版）✓系 3.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

  • Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間 この先をたどる →
• ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。