Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解

0. この記事の要点

水や空気のような粘り気のある流れの動きは、Navier–Stokes 方程式という 1 本の方程式で書かれます。この方程式について「なめらかな流れから出発したとき、その流れはいつまでもなめらかなままか」という素朴な問いが、100 年近く解けていません。この記事では、問いを正確な形で書き下し、いまわかっていること（解を「少し弱い意味」でなら必ず作れること、2 次元ならなめらかさが保たれること）を証明つきで確かめます。読み終えると、3 次元の難しさがどこにあるかを式で説明できるようになります。

• Clay 数学研究所の問題は、3 次元の非圧縮 Navier–Stokes 方程式について 4 つの命題 (A)〜(D) のどれか 1 つを証明することを求めます。(A)(B) は外力 $f=0$ での滑らかな大域解の存在、(C)(D) は滑らかな初期値と外力で大域解が存在しない例の存在で、(A)(B) と (C)(D) は互いの否定になっていません。
• 滑らかな解はエネルギー等式を満たします。非線形項は $\langle(u\cdot\nabla)u,u\rangle=0$ で消えるので、運動エネルギーは外力の仕事と粘性散逸だけで変わります。
• スケール変換 $u_\lambda(x,t)=\lambda u(\lambda x,\lambda^2t)$ のもとで、3 次元のエネルギーは $\lambda^{-1}$ 倍になります（優臨界。流れを細かく縮めるほど、エネルギーでは細部を抑えられなくなるという意味）。2 次元では不変（臨界）で、これが 2 次元と 3 次元の違いの源です。
• トーラス $\mathbb{T}^3$（各方向に周期 $1$ をもつ箱）上では、$L^2$ の初期値に対して Leray–Hopf の弱解（方程式を微分ではなく積分の形で満たす解）が大域的に存在します（Galerkin 近似、つまり有限個の Fourier モードに切り詰めた常微分方程式の解の極限と、エネルギー評価。この記事で証明を閉じます）。一意性と滑らかさは分かっていません。
• 2 次元では弱解は一意で、滑らかな解の $\|\nabla u\|_{L^2}$ は時間によらず抑えられます。3 次元では $\frac{d}{dt}\|\nabla u\|^2\le C\nu^{-3}\|\nabla u\|^6$ しか得られず、短時間または小さい初期値でしか $\|\nabla u\|$ を抑えられません。
• 滑らかな解がある区間では、同じデータの Leray–Hopf 弱解はそれに一致します（弱強一意性）。第 11 章で「ある解が爆発するなら、同じデータの滑らかな大域解は無い」を導くのに使います。

この記事で使う事前知識

• Sobolev 空間: 弱い意味の微分が $L^2$ などに入る関数の空間。この記事では勾配の $L^2$ ノルムの見積もりに使います。→ Sobolev 空間
• Fourier 係数: 周期関数を $e^{2\pi ik\cdot x}$ の和に展開したときの各項の係数。→ Fourier 係数
• 常微分方程式の解の存在と一意性: 右辺が局所 Lipschitz 連続なら、解が局所的にただ 1 つ存在するという事実。→ 解の存在と一意性
• 同程度連続・一様有界: 関数の列が、どの関数も同じ程度にしか急には変化せず、大きさも一様に抑えられているという性質。部分列を取る議論に使います。→ 同程度連続
• 直交射影: Hilbert 空間の元を、閉部分空間の上へ最も近い点に写す写像。→ 直交射影
• 熱方程式と熱半群: 粘性の項が熱の拡散と同じ型であることの背景。→ 熱方程式

1. 動機

粘性をもつ非圧縮流体の運動方程式は、Navier（1822 年に学士院で発表）と Stokes（1845 年）にさかのぼります。方程式は 2 世紀にわたって流体力学の基礎として使われてきましたが、「滑らかな初期状態から出発した 3 次元の流れが、いつまでも滑らかであり続けるか」は分かっていません。

Leray は 1934 年の論文で、この問題に対する現在の出発点をほぼすべて用意しました。エネルギーが有限な初期値に対して、方程式を積分の意味で満たす解（Leray は「乱流解」と呼びました）が大域的に存在すること、滑らかな解は短時間なら存在して一意であること、そして滑らかな解が壊れるとすれば特定の速さ以上でノルムが発散すること、の 3 つです。Hopf は 1951 年に、境界をもつ一般の領域で同じ型の弱解を構成しました。2 次元については、Ladyzhenskaya が 1959 年に弱解の一意性と大域的な滑らかさを証明しています。

2000 年、Clay 数学研究所はこの問題をミレニアム懸賞問題の 1 つに選び、Fefferman が問題文を書きました。この記事ではまず問題文の条件を式で書き出し、次に 1934 年から変わっていない出発点、すなわち「弱解は大域的にあるが一意性と滑らかさが分からない。強解は一意で滑らかだが局所的にしか分からない」を証明つきで述べます。正則性の判定条件と爆発の研究は 第 10 章、2026 年に公表された外力つきの爆発の主張は 第 11 章 で扱います。

2. 方程式と Clay の問題文

2.1. 方程式

空間は $\Omega=\mathbb{R}^d$ またはトーラス $\mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$（$d=2,3$）とします。$\mathbb{T}^d$ 上の関数は、各座標について周期 $1$ の $\mathbb{R}^d$ 上の関数と同一視します。$\|\cdot\|$ は $L^2(\Omega)$ のノルム、$\langle\cdot,\cdot\rangle$ は $L^2(\Omega)$ の実内積、$\|\cdot\|_q$ は $L^q(\Omega)$ のノルムです。添字の繰り返しは和を取ります。

定義 2.1（非圧縮 Navier–Stokes 方程式・Euler 方程式）↗

$\nu\gt0$ を定数（粘性）とする。速度 $u:\Omega\times[0,T)\to\mathbb{R}^d$、圧力 $p:\Omega\times[0,T)\to\mathbb{R}$、外力 $f:\Omega\times[0,T)\to\mathbb{R}^d$、初期値 $u_0:\Omega\to\mathbb{R}^d$ に対する方程式

$$\partial_tu+(u\cdot\nabla)u=\nu\Delta u-\nabla p+f,\qquad\operatorname{div}u=0,\qquad u(\cdot,0)=u_0$$

を非圧縮 Navier–Stokes 方程式という。ここで $((u\cdot\nabla)u)_j=u_i\partial_iu_j$ である。$\nu=0$ としたものを Euler 方程式という。$u,p$ が $\Omega\times[0,T)$ 上 $C^\infty$ 級で方程式を各点で満たすとき、$(u,p)$ を滑らかな解という。

$\operatorname{div}u=0$ なら $(u\cdot\nabla)u_j=\partial_i(u_iu_j)$ と書けます。方程式の発散を取ると $\partial_t$ と $\Delta$ の項が消えて

$$-\Delta p=\partial_i\partial_j(u_iu_j)-\operatorname{div}f$$

となり、圧力は各時刻の速度と外力から Poisson 方程式で決まります。圧力は独立な未知関数ではなく、速度を発散なしに保つための Lagrange 乗数です。また渦度を $\omega=\operatorname{curl}u$（$d=2$ ではスカラー $\omega=\partial_1u_2-\partial_2u_1$）と定めます。

2.2. 問題文の条件

Fefferman の問題文（参考文献 [1]）は、空間全体と周期的な場合のそれぞれについて、初期値・外力・解に課す条件を番号つきで述べています。条件が多く見えますが、役割は 2 種類だけです。初期値と外力が遠方で十分速く消える（または周期的である）ことで「データがまともである」ことを、解が滑らかでエネルギーが有限であることで「解がまともである」ことを要請しています。原文の番号のまま書き出します。式 (1)(2)(3) は 定義 2.1 の方程式・非圧縮条件・初期条件です。

定義 2.2（問題文の条件 (4)〜(11)）↗

$n=3$ とする。$\alpha$ は空間の多重指数、$m\ge0$ は整数、$K\gt0$ は任意の実数、$e_j$ は第 $j$ 単位ベクトルである。

全空間の場合。 初期値と外力に対する条件:

$$\begin{aligned} &(4)\quad|\partial_x^\alpha u_0(x)|\le C_{\alpha K}(1+|x|)^{-K}\quad(x\in\mathbb{R}^3),\\ &(5)\quad|\partial_x^\alpha\partial_t^mf(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|x|+t)^{-K}\quad(x\in\mathbb{R}^3,\ t\ge0). \end{aligned}$$

解に対する条件:

$$\begin{aligned} &(6)\quad p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty)),\\ &(7)\quad\int_{\mathbb{R}^3}|u(x,t)|^2dx\lt C\quad(t\ge0)\qquad\text{（エネルギーの有界性）}. \end{aligned}$$

周期的な場合。 初期値と外力に対する条件:

$$\begin{aligned} &(8)\quad u_0(x+e_j)=u_0(x),\quad f(x+e_j,t)=f(x,t)\quad(1\le j\le3),\\ &(9)\quad|\partial_x^\alpha\partial_t^mf(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|t|)^{-K}\quad(x\in\mathbb{R}^3,\ t\ge0). \end{aligned}$$

解に対する条件:

$$\begin{aligned} &(10)\quad u(x+e_j,t)=u(x,t)\quad(1\le j\le3),\\ &(11)\quad p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty)). \end{aligned}$$

問題文に付された正誤表により、周期的な場合には圧力の周期性 $p(x+e_j,t)=p(x,t)$ も条件に加える。

定義 2.3（命題 (A)〜(D)）↗

$\nu\gt0$、$n=3$ とする。

• (A) 全空間での存在と滑らかさ。 (4) を満たす任意の滑らかな発散なしベクトル場 $u_0$ に対し、$f\equiv0$ として、(1)(2)(3)(6)(7) を満たす $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上の滑らかな $p,u$ が存在する。
• (B) 周期的な場合の存在と滑らかさ。 (8) を満たす任意の滑らかな発散なしベクトル場 $u_0$ に対し、$f\equiv0$ として、(1)(2)(3)(10)(11) を満たす滑らかな $p,u$ が存在する。
• (C) 全空間での解の破綻。 (4)(5) を満たす滑らかな発散なしベクトル場 $u_0$ と滑らかな $f$ で、(1)(2)(3)(6)(7) を満たす解 $(p,u)$ が $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上に存在しないものがある。
• (D) 周期的な場合の解の破綻。 (8)(9) を満たす滑らかな発散なしベクトル場 $u_0$ と滑らかな $f$ で、(1)(2)(3)(10)(11) を満たす解 $(p,u)$ が存在しないものがある。

問題文は、この 4 つのうちどれか 1 つの証明を解決として求めている。

(A)(B) と (C)(D) の仮定の違いを表にします。

	空間	初期値	外力	主張
(A)	$\mathbb{R}^3$	(4) を満たす任意の $u_0$	$f\equiv0$	滑らかでエネルギー有界な大域解がある
(B)	$\mathbb{T}^3$	周期的な任意の $u_0$	$f\equiv0$	滑らかな周期的大域解がある
(C)	$\mathbb{R}^3$	(4) を満たすある $u_0$	(5) を満たすある $f$	滑らかでエネルギー有界な大域解が無い
(D)	$\mathbb{T}^3$	周期的なある $u_0$	(8)(9) を満たすある $f$	滑らかな周期的大域解が無い

注意 2.4（(A) と (C) は互いの否定ではない）

(A) の否定は「$f\equiv0$ のもとで、ある $u_0$ に対して滑らかでエネルギー有界な大域解が無い」です。(C) は外力 $f\ne0$ を許すので、(C) が成り立っても (A) の真偽は決まりません。$f\equiv0$ は条件 (5) を満たすので、(A) の否定は (C) を導きますが、逆は言えません。つまり論理的には「(A) かつ (C)」がありえます。外力なしの方程式で滑らかな初期値から特異点が生じるかどうか、という物理的に最も関心のある問いは (A)(B) の側にあります。

注意 2.5（問題文は一意性を求めていない）

(A)(B) が求めるのは存在であり、(C)(D) が求めるのは「条件を満たす解が 1 つも無い」ことです。(C) を示すには、ある解が有限時間で壊れることに加えて、同じデータの別の滑らかな解が大域的に存在する可能性を排除しなければなりません。その排除に使うのが 定理 8.2 です。

3. エネルギー等式とスケール不変性

3.1. 部分積分と非線形項

$\mathbb{T}^d$ 上の滑らかな周期関数 $F$ については、微積分の基本定理を 1 変数ずつ使って $\int_{\mathbb{T}^d}\partial_jF\,dx=0$ です。$\mathbb{R}^d$ では、次の減衰の条件を課して同じことをします。

定義 3.1（減衰する滑らかな解）↗

$\mathbb{R}^d\times[0,T]$ 上の滑らかな解 $(u,p)$ が減衰するとは、$p$ が有界で、すべての多重指数 $\alpha$、$m\in\{0,1\}$、$K\gt0$ について $\sup_{0\le t\le T}|\partial_x^\alpha\partial_t^mu(x,t)|\le C_{\alpha K}(1+|x|)^{-K}$ が成り立つことをいう。$\mathbb{T}^d$ 上の滑らかな解は、$u,p$ がともに周期的であるものだけを考える。

補題 3.2（三重線形形式の反対称性）✓

$u,v,w$ を $\Omega$ 上の滑らかなベクトル場（$\Omega=\mathbb{T}^d$ なら周期的、$\Omega=\mathbb{R}^d$ なら $u$ は有界で $v,w$ とその 1 階導関数は任意の多項式より速く減衰）とし、$b(u,v,w)=\int_\Omega u_i\,\partial_iv_j\,w_j\,dx$ とおく。$\operatorname{div}u=0$ ならば

$$b(u,v,w)=-b(u,w,v),\qquad\text{とくに}\quad b(u,v,v)=0 .$$

証明（補題 3.2）

積の微分により $\partial_i(u_iv_jw_j)=(\partial_iu_i)v_jw_j+u_i\partial_iv_j\,w_j+u_iv_j\,\partial_iw_j$ です。$\partial_iu_i=\operatorname{div}u=0$ なので、右辺は $u_i\partial_iv_jw_j+u_iv_j\partial_iw_j$ です。左辺の積分は、$\mathbb{T}^d$ では周期性により $0$ です。$\mathbb{R}^d$ では球 $B_R$ 上で発散定理（補題 2.1［ラプラス方程式と調和関数］）を使うと $\int_{\partial B_R}(u\cdot n)v_jw_j\,dS$ になり、被積分関数は $C(1+R)^{-K}$ で抑えられ、球面の面積は $R^{d-1}$ に比例するので、$K\gt d-1$ と取れば $R\to\infty$ で $0$ に収束します。したがって $b(u,v,w)+b(u,w,v)=0$ です。$w=v$ とすると $2b(u,v,v)=0$ です。

∎

命題 3.3（エネルギー等式）✓

$(u,p)$ を $\Omega\times[0,T]$ 上の滑らかな解（$\Omega=\mathbb{R}^d$ では 定義 3.1 の意味で減衰する解）とし、$f$ は連続で $f(t)\in L^2(\Omega)$、$t\mapsto\|f(t)\|$ は有界とする。このとき、すべての $0\le t\le T$ で

$$\frac12\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u(s)\|^2ds=\frac12\|u_0\|^2+\int_0^t\langle f(s),u(s)\rangle\,ds .$$

ここで $\|\nabla u\|^2=\int_\Omega\partial_iu_j\,\partial_iu_j\,dx$ である。

証明（命題 3.3）

方程式と $u$ の内積を取って $\Omega$ 上で積分します。$u$ と $\partial_tu$ の減衰（または周期性）により積分記号下で微分でき（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）、$\langle\partial_tu,u\rangle=\frac12\frac{d}{dt}\|u\|^2$ です。

非線形項は $\langle(u\cdot\nabla)u,u\rangle=b(u,u,u)=0$ です（補題 3.2）。

粘性項は、$\partial_i(\partial_iu_j\,u_j)=\Delta u_j\,u_j+\partial_iu_j\partial_iu_j$ を積分して $\langle\Delta u,u\rangle=-\|\nabla u\|^2$ です（境界項は 補題 3.2 の証明と同じ理由で消えます）。

圧力項は、$\partial_j(pu_j)=\partial_jp\,u_j+p\,\partial_ju_j=\partial_jp\,u_j$ を積分します。$\mathbb{T}^d$ では $p$ の周期性により $\langle\nabla p,u\rangle=0$ です。$\mathbb{R}^d$ では境界項が $\sup|p|\cdot C(1+R)^{-K}R^{d-1}\to0$ なので、やはり $\langle\nabla p,u\rangle=0$ です。

以上から $\frac12\frac{d}{dt}\|u\|^2+\nu\|\nabla u\|^2=\langle f,u\rangle$ となり、$0$ から $t$ まで積分すると主張の等式です。

∎

この等式が Navier–Stokes 方程式について無条件に使える唯一の保存則型の評価です。外力が無ければ、エネルギーは単調に減り、$\nu\int_0^\infty\|\nabla u\|^2dt\le\frac12\|u_0\|^2$ です。

3.2. スケール変換

流れを $\lambda$ 倍に拡大・縮小し、時間も合わせて変えても、方程式の形は変わりません。このとき各ノルム（エネルギーなど）が $\lambda$ の何乗倍になるかを調べると、エネルギー等式が抑えてくれる量が、細かい渦を抑えるのには足りないことが見えてきます。以下の分類はそのための物差しです。

定義 3.4（スケール変換と臨界性）↗

$\lambda\gt0$ に対し

$$u_\lambda(x,t)=\lambda u(\lambda x,\lambda^2t),\qquad p_\lambda(x,t)=\lambda^2p(\lambda x,\lambda^2t),\qquad f_\lambda(x,t)=\lambda^3f(\lambda x,\lambda^2t)$$

とおく。$\mathbb{R}^d$ 上の関数に対する量 $N(u)$ が $N(u_\lambda)=\lambda^{\sigma}N(u)$ を満たすとき、$\sigma=0$ なら $N$ を臨界、$\sigma\gt0$ なら劣臨界、$\sigma\lt0$ なら優臨界という。

$\lambda\gt1$ のとき $u_\lambda$ は $u$ を細かいスケールに縮めたものです。劣臨界な量が有界なら細かいスケールほど量が小さくなり、優臨界な量は有界でも細かいスケールでの振る舞いを抑えません。

命題 3.5（スケール不変性と各ノルムの次数）✓

(i) $(u,p)$ が $\mathbb{R}^d\times[0,T)$ 上で粘性 $\nu$・外力 $f$ の滑らかな解ならば、$(u_\lambda,p_\lambda)$ は $\mathbb{R}^d\times[0,T/\lambda^2)$ 上で同じ粘性 $\nu$・外力 $f_\lambda$ の滑らかな解である。

(ii) 時刻 $0$ のノルムについて、$1\le q\le\infty$、$s\ge0$ に対し

$$\|u_\lambda(0)\|_{L^q(\mathbb{R}^d)}=\lambda^{1-d/q}\|u_0\|_{L^q},\qquad\|u_\lambda(0)\|_{\dot H^s(\mathbb{R}^d)}=\lambda^{1+s-d/2}\|u_0\|_{\dot H^s},$$

ここで $\|v\|_{\dot H^s}^2=(2\pi)^{-d}\int|\xi|^{2s}|\hat v(\xi)|^2d\xi$ である。

(iii) したがって $d=3$ では、エネルギー $\frac12\|u\|^2$ は $\lambda^{-1}$ 倍（優臨界）、$\|u\|_{L^3}$ と $\|u\|_{\dot H^{1/2}}$ は不変（臨界）、$\|\nabla u\|^2$ は $\lambda$ 倍（劣臨界）である。$d=2$ ではエネルギーが不変（臨界）である。

証明（命題 3.5）

(i) $y=\lambda x$、$s=\lambda^2t$ とおくと、連鎖律により $\partial_tu_\lambda=\lambda^3(\partial_su)(y,s)$、$\partial_{x_i}u_\lambda=\lambda^2(\partial_{y_i}u)(y,s)$、$\Delta u_\lambda=\lambda^3(\Delta u)(y,s)$、$\nabla p_\lambda=\lambda^3(\nabla p)(y,s)$ です。よって $(u_\lambda\cdot\nabla)u_\lambda=\lambda\cdot\lambda^2\,((u\cdot\nabla)u)(y,s)=\lambda^3((u\cdot\nabla)u)(y,s)$ で、方程式のすべての項が $\lambda^3$ 倍になります:

$$\partial_tu_\lambda+(u_\lambda\cdot\nabla)u_\lambda-\nu\Delta u_\lambda+\nabla p_\lambda=\lambda^3\bigl[\partial_su+(u\cdot\nabla)u-\nu\Delta u+\nabla p\bigr](y,s)=\lambda^3f(y,s)=f_\lambda .$$

$\operatorname{div}u_\lambda=\lambda^2(\operatorname{div}u)(y,s)=0$ です。$s\lt T$ は $t\lt T/\lambda^2$ と同値です。

(ii) 変数変換 $y=\lambda x$、$dx=\lambda^{-d}dy$ により $\int|\lambda u_0(\lambda x)|^qdx=\lambda^{q-d}\int|u_0|^qdy$ なので、$q$ 乗根を取って $\lambda^{1-d/q}$ です（$q=\infty$ では $\lambda$ 倍で、式と合います）。Fourier 変換は $\widehat{u_\lambda(0)}(\xi)=\lambda^{1-d}\hat u_0(\xi/\lambda)$ なので、$\eta=\xi/\lambda$ として

$$\int|\xi|^{2s}\lambda^{2-2d}|\hat u_0(\xi/\lambda)|^2d\xi=\lambda^{2-2d}\lambda^{2s}\lambda^{d}\int|\eta|^{2s}|\hat u_0(\eta)|^2d\eta=\lambda^{2+2s-d}\|u_0\|_{\dot H^s}^2(2\pi)^d$$

となり、平方根を取って $\lambda^{1+s-d/2}$ です。

(iii) $d=3$ のとき、$q=2$ で $1-3/2=-1/2$ なので $\|u\|^2$ は $\lambda^{-1}$ 倍、$q=3$ で $1-1=0$、$s=1/2$ で $1+1/2-3/2=0$、$s=1$ で $1+1-3/2=1/2$ なので $\|\nabla u\|^2$ は $\lambda$ 倍です。$d=2$ のとき $q=2$ で $1-2/2=0$ です。

∎

例 3.6（3 次元での次数の表）

$d=3$ で、$N(u_\lambda)=\lambda^\sigma N(u)$ の $\sigma$ を並べます。時間を含むノルムは区間 $[0,T/\lambda^2)$ で測ります。

量	$\sigma$	分類
$\lVert u\rVert _{L^2}$	$-1/2$	優臨界
$\nu\int_0^T\lVert \nabla u\rVert ^2dt$	$-1$	優臨界
$\lVert u\rVert _{L^3}$、$\lVert u\rVert _{\dot H^{1/2}}$	$0$	臨界
$\lVert u\rVert _{L^p_tL^q_x}$（$2/p+3/q=1$）	$0$	臨界
$\lVert \nabla u\rVert _{L^2}$	$1/2$	劣臨界
$\lVert u\rVert _{L^\infty}$	$1$	劣臨界

混合ノルムの行は、$\int_0^{T/\lambda^2}\|u_\lambda(t)\|_q^pdt=\lambda^{p(1-3/q)}\lambda^{-2}\int_0^T\|u(s)\|_q^pds$ で、指数が $p(1-3/q)-2=p(1-2/p-3/q)$ であることから出ます。エネルギー等式が抑える 2 つの量（上の 2 行）がどちらも優臨界であることが、3 次元の難しさを数で表しています。

4. 準備：Fourier 級数と補間不等式

4.1. トーラス上の関数空間

次の定義で、$H$ は「発散なし」の条件を課した速度場の空間、$V$ はその中で勾配の $L^2$ ノルムも有限なもの、Leray 射影 $\mathbb{P}$ は任意の場から勾配の部分を取り除いて発散なしの部分だけを残す操作です。圧力は勾配の形で現れるので、$\mathbb{P}$ を掛けると方程式から圧力が消えます。

$k\in\mathbb{Z}^d$ に対し $e_k(x)=e^{2\pi ik\cdot x}$、$\hat u(k)=\int_{\mathbb{T}^d}u(x)e^{-2\pi ik\cdot x}dx$ とします（ベクトル値の $u$ では成分ごと）。

補題 4.1（多次元トーラスの Parseval の等式）✓

$(e_k)_{k\in\mathbb{Z}^d}$ は $L^2(\mathbb{T}^d;\mathbb{C})$ の正規直交基底である。したがって $u,v\in L^2(\mathbb{T}^d)$ について $\int_{\mathbb{T}^d}u\bar v\,dx=\sum_k\hat u(k)\overline{\hat v(k)}$、$\|u\|^2=\sum_k|\hat u(k)|^2$ であり、部分和 $\sum_{|k|\le N}\hat u(k)e_k$ は $L^2$ で $u$ に収束する。

証明（補題 4.1）

正規直交性は、$\int_0^1e^{2\pi i(k_j-l_j)x_j}dx_j$ が $k_j=l_j$ のとき $1$、それ以外で $0$ であることと Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）から従います。完全性を $d$ についての帰納法で示します。$d=1$ は 定理 5.1［フーリエ級数］ です（変数を $\theta=2\pi x$ と取り替える）。$d-1$ で正しいとし、$u\in L^2(\mathbb{T}^d)$ がすべての $e_k$ と直交するとします。$x=(x',x_d)$、$k=(k',l)$ と分け、$g_l(x')=\int_0^1u(x',x_d)e^{-2\pi ilx_d}dx_d$ とおくと、Cauchy–Schwarz の不等式と Fubini の定理により $g_l\in L^2(\mathbb{T}^{d-1})$ で、$\hat g_l(k')=\hat u(k',l)=0$ です。帰納法の仮定から $g_l=0$ がほとんどすべての $x'$ で成り立ちます。$l$ は可算個なので、ほとんどすべての $x'$ について、$u(x',\cdot)\in L^2(\mathbb{T})$ のすべての Fourier 係数が $0$ となり、$d=1$ の場合から $u(x',\cdot)=0$ です。よって $u=0$ で、$(e_k)$ は完全です。残りの主張は正規直交基底の一般的な性質です（定理 5.1［フーリエ級数］ と同じ）。

∎

定義 4.2（空間 H・V、射影 ℙ・$P_N$、H⁻¹ のノルム）↗

実ベクトル値の $u\in L^2(\mathbb{T}^d;\mathbb{R}^d)$ に対し、次のように定める。

• $H$ は、$\hat u(0)=0$（平均 $0$）かつすべての $k$ で $k\cdot\hat u(k)=0$（発散なし）を満たす $u$ の全体。$L^2$ の閉部分空間である。
• $\|\nabla u\|^2=4\pi^2\sum_k|k|^2|\hat u(k)|^2$ とおき、$V=\{u\in H:\|\nabla u\|\lt\infty\}$ とする。滑らかな $u$ では $\widehat{\partial_ju}(k)=2\pi ik_j\hat u(k)$ なので、補題 4.1 によりこれは勾配の $L^2$ ノルムに一致する。
• Leray 射影 $\mathbb{P}$ を $\widehat{\mathbb{P}u}(k)=\Pi_k\hat u(k)$（$k\ne0$）、$\widehat{\mathbb{P}u}(0)=0$ で定める。ここで $\Pi_k=I-kk^{\mathsf T}/|k|^2$ は $k$ に直交する平面への直交射影である。$\mathbb{P}$ は $L^2$ から $H$ への直交射影である。
• $P_N$ は $|k|\le N$ の係数だけを残す切断で、$\mathcal{V}_N=P_NH$（有限次元。元は発散なし・平均 $0$ の実三角多項式）とする。
• 係数の列 $(\hat g(k))_{k\ne0}$（$\hat g(-k)=\overline{\hat g(k)}$）に対し $\|g\|_{-1}^2=\sum_{k\ne0}|\hat g(k)|^2/(4\pi^2|k|^2)$ とおき、$v\in V$ との組を $\langle g,v\rangle=\sum_{k\ne0}\hat g(k)\cdot\overline{\hat v(k)}$ で定める。Cauchy–Schwarz の不等式により $|\langle g,v\rangle|\le\|g\|_{-1}\|\nabla v\|$ である。$L^2(0,T;H^{-1})$ は、各 $\hat g(k,\cdot)$ が可測で $\int_0^T\|g(t)\|_{-1}^2dt\lt\infty$ となる $g$ の全体とする。

平均 $0$ の $u\in V$ では $|k|\ge1$ なので $\|u\|^2=\sum_{k\ne0}|\hat u(k)|^2\le\sum|k|^2|\hat u(k)|^2$、すなわち Poincaré の不等式 $\|u\|\le(2\pi)^{-1}\|\nabla u\|$ が成り立ちます。また $u\in H$ と滑らかな周期関数 $\psi$ について $\langle u,\nabla\psi\rangle=\sum_k\hat u(k)\cdot\overline{2\pi ik\hat\psi(k)}=0$ です。$H$ の元は超関数の意味で発散なしです。

4.2. Ladyzhenskaya の不等式

補題 4.3（Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式）✓

以下 (i)(ii) の $u$ は、$\mathbb{R}^d$ 上の滑らかな関数で、$u$ と $\nabla u$ が $|x|\to\infty$ で任意の多項式より速く減衰するものとする（$C_c^\infty$ の元はこれを満たす）。

(i) $d=2$ のとき $\|u\|_4^2\le2\|u\|\,\|\nabla u\|$。

(ii) $d=3$ のとき $\|u\|_6\le4\|\nabla u\|$、$\|u\|_4\le4^{3/4}\|u\|^{1/4}\|\nabla u\|^{3/4}$、$\|u\|_3\le2\|u\|^{1/2}\|\nabla u\|^{1/2}$。

(iii) 定数 $C$ があって、平均 $0$ の滑らかな周期関数 $u$ について、$\mathbb{T}^2$ 上で $\|u\|_4^2\le C\|u\|\,\|\nabla u\|$、$\mathbb{T}^3$ 上で $\|u\|_6\le C\|\nabla u\|$、$\|u\|_4\le C\|u\|^{1/4}\|\nabla u\|^{3/4}$、$\|u\|_3\le C\|u\|^{1/2}\|\nabla u\|^{1/2}$。

(iv) (iii) の不等式は $u\in V$（成分ごと）でも成り立ち、$P_Nu\to u$ は $\mathbb{T}^2$ では $L^4$、$\mathbb{T}^3$ では $L^6$ で収束する。

ベクトル値の $u$ については、成分ごとに適用して定数を取り替えれば同じ形で成り立つ。

証明（補題 4.3）

(i) $v=u^2$ は $v,\nabla v=2u\nabla u\in L^1$ を満たすので $W^{1,1}(\mathbb{R}^2)$ の元です。これに、$n=2$、$p=1$、$p^*=2$ の Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式（定理 4.3［Sobolev 空間］。定数は $p(n-1)/(n-p)=1$）を使うと $\|u^2\|_2\le\|\nabla(u^2)\|_1=2\|u\nabla u\|_1$ です。左辺は $\|u\|_4^2$、右辺は Cauchy–Schwarz の不等式で $2\|u\|\,\|\nabla u\|$ 以下です。

(ii) $n=3$、$p=2$、$p^*=6$ の同じ不等式（定数は $2\cdot2/1=4$）が $\|u\|_6\le4\|\nabla u\|$ です。$\frac14=\frac{\theta}{2}+\frac{1-\theta}{6}$ を解くと $\theta=\frac14$ で、Hölder の不等式（定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）を $|u|^4=|u|^{1}\cdot|u|^{3}$ に指数 $2$ と $2$ で使うと $\int|u|^4\le\|u\|\,\|u\|_6^3$、よって $\|u\|_4\le\|u\|^{1/4}\|u\|_6^{3/4}\le4^{3/4}\|u\|^{1/4}\|\nabla u\|^{3/4}$ です。同様に $|u|^3=|u|^{3/2}|u|^{3/2}$ に指数 $4/3$ と $4$ で使うと $\int|u|^3\le\|u\|^{3/2}\|u\|_6^{3/2}$ で、$\|u\|_3\le\|u\|^{1/2}\|u\|_6^{1/2}\le2\|u\|^{1/2}\|\nabla u\|^{1/2}$ です。

(iii) $\chi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ を、$[0,1]^d$ 上で $1$、台が $(-1,2)^d$ に含まれ、$0\le\chi\le1$ となるように取ります。周期関数 $u$ について $\chi u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ で、$(-1,2)^d$ は周期の胞 $3^d$ 個から成るので

$$\|u\|_{L^q(\mathbb{T}^d)}\le\|\chi u\|_{L^q(\mathbb{R}^d)},\qquad\|\chi u\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}\le3^{d/2}\|u\|,\qquad\|\nabla(\chi u)\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}\le3^{d/2}\bigl(\|\nabla\chi\|_\infty\|u\|+\|\nabla u\|\bigr)$$

です。平均 $0$ なので Poincaré の不等式 $\|u\|\le(2\pi)^{-1}\|\nabla u\|$ により最後の量は $C\|\nabla u\|$ 以下です。(i)(ii) を $\chi u$ に使うと (iii) の各不等式が出ます。

(iv) $u\in V$ とし $u_N=P_Nu$ とおきます。$u_N$ は平均 $0$ の三角多項式で、$\|u_N-u_M\|\to0$、$\|\nabla(u_N-u_M)\|\to0$（$N,M\to\infty$）です。(iii) を $u_N-u_M$ に使うと $(u_N)$ は $\mathbb{T}^2$ では $L^4$、$\mathbb{T}^3$ では $L^6$ の Cauchy 列で、極限は $L^2$ 極限 $u$ に一致します。(iii) の各不等式は $u_N$ で成り立ち、両辺が収束するので $u$ でも成り立ちます（$L^6$ 収束は有限測度空間で $L^4$・$L^3$ 収束を導きます。系 4.3［L^p 空間と関数解析への導入］）。

∎

2 次元と 3 次元で $\|\nabla u\|$ の指数が $1/2$ と $3/4$ に分かれることが、後の節で決定的な差になります。

5. Leray–Hopf の弱解

5.1. 定義

滑らかな解に発散なしの試験関数 $\varphi$ を掛けて積分すると、圧力が消え、補題 3.2 により $-b(u,u,\varphi)=b(u,\varphi,u)=\int u_iu_j\partial_i\varphi_j\,dx$ となって、$u$ の微分が現れない式が得られます。これを解の定義に採用します。

定義 5.1（Leray–Hopf の弱解）↗

$d\in\{2,3\}$、$T\gt0$、$u_0\in H$、$f\in L^2(0,T;H^{-1})$ とする（記号は 定義 4.2）。$u:[0,T]\to H$ が次を満たすとき、$\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解という。

(a) 各 Fourier 係数 $t\mapsto\hat u(k,t)$ は連続で、$\sup_{0\le t\le T}\|u(t)\|\lt\infty$、$\int_0^T\|\nabla u(t)\|^2dt\lt\infty$。

(b) 弱形式: すべての $N$ とすべての $\varphi\in C^1([0,T];\mathcal{V}_N)$、すべての $t\in[0,T]$ について

$$\langle u(t),\varphi(t)\rangle=\langle u_0,\varphi(0)\rangle+\int_0^t\Bigl(\langle u,\partial_s\varphi\rangle-\nu\langle\nabla u,\nabla\varphi\rangle+\int_{\mathbb{T}^d}u_iu_j\,\partial_i\varphi_j\,dx+\langle f,\varphi\rangle\Bigr)ds .$$

(c) エネルギー不等式: すべての $t\in[0,T]$ について

$$\frac12\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u(s)\|^2ds\le\frac12\|u_0\|^2+\int_0^t\langle f(s),u(s)\rangle\,ds .$$

(b) で $\varphi$ を時間によらない $ce_k+\bar ce_{-k}$（$c\perp k$）に取ると、各係数 $\hat u(k,t)$ が満たす積分方程式になります。滑らかな解（平均 $0$）は (a)(b) を満たし、命題 3.3 により (c) を等号で満たします。弱解では (c) は不等号でしか分かりません。等号が成り立つかどうかは、3 次元では未解決です。

5.2. 存在定理

定理 5.2（Leray–Hopf の弱解の存在（トーラス））✓

$d\in\{2,3\}$、$\nu\gt0$、$T\gt0$ とする。任意の $u_0\in H$ と $f\in L^2(0,T;H^{-1})$ に対し、$\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解が存在し、すべての $t\in[0,T]$ で

$$\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u\|^2ds\le\|u_0\|^2+\frac1\nu\int_0^t\|f(s)\|_{-1}^2ds$$

を満たす。

証明は、有限個の Fourier モードに切断した常微分方程式（Galerkin 近似）を解き、エネルギー評価で一様な有界性を得て、部分列の極限を取る、という順に進みます。8 つの段の役割は、第 1 段が外力を扱いやすい形に近似、第 2 段が近似解の構成、第 3 段が一様な大きさの評価、第 4 段が部分列を取る準備、第 5 段が極限の大きさの評価、第 6 段が強収束、第 7 段が弱形式の確認、第 8 段がエネルギー不等式の確認です。非線形項の極限移行には $L^2$ での強収束が必要で、そこに $\|\nabla u\|$ の評価を使います。

証明（定理 5.2）

第 1 段（外力の近似）。 各 $k$ について $\hat f(k,\cdot)\in L^2(0,T)$ なので、連続関数で $L^2(0,T)$ の意味で近似できます（命題 7.2［L^p 空間と関数解析への導入］）。$P_Nf$ は有限個の係数しか持たないので、係数が $\mathbb{R}$ 上連続で $\hat g_N(-k)=\overline{\hat g_N(k)}$、$\hat g_N(k)=0$（$|k|\gt N$）を満たす $g_N$ を $\int_0^T\|P_Nf-g_N\|_{-1}^2dt\le1/N^2$ となるように取れます。$\int_0^T\|f-P_Nf\|_{-1}^2dt=\int_0^T\sum_{|k|\gt N}|\hat f(k,t)|^2/(4\pi^2|k|^2)\,dt\to0$（優収束定理。定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）なので、$\|g_N-f\|_{L^2(0,T;H^{-1})}\to0$ です。必要なら有限個の $N$ を除いて $\|g_N\|_{L^2(0,T;H^{-1})}\le\|f\|_{L^2(0,T;H^{-1})}+1$ とします。

第 2 段（Galerkin 近似）。 $u_N(t)=\sum_{0\lt|k|\le N}a_k(t)e_k\in\mathcal{V}_N$ を、常微分方程式

$$\frac{d}{dt}a_k=-4\pi^2\nu|k|^2a_k-\Pi_k\sum_{l+m=k}2\pi i\,(a_l\cdot m)\,a_m+\Pi_k\hat g_N(k,t),\qquad a_k(0)=\hat u_0(k)\quad(0\lt|k|\le N)$$

の解として定めます。右辺第 2 項は $(u_N\cdot\nabla)u_N$ の第 $k$ 係数に $\Pi_k$ を掛けたもので、方程式は $\partial_tu_N=\nu\Delta u_N-P_N\mathbb{P}[(u_N\cdot\nabla)u_N]+P_N\mathbb{P}g_N$ と同じです。未知数は有限次元の実ベクトル空間 $\{(a_k):a_{-k}=\bar a_k,\ k\cdot a_k=0\}$ を動き、右辺は $t$ について連続、$a$ について 2 次多項式なので局所 Lipschitz 連続です（命題 2.4［解の存在と一意性］）。したがって最大解がただ 1 つ存在します（定理 4.1［解の存在と一意性］、系 4.2［解の存在と一意性］）。

第 3 段（エネルギー評価）。 解が存在する区間で、$P_N\mathbb{P}$ が $L^2$ の直交射影で $u_N$ がその像に入ることから

$$\frac12\frac{d}{dt}\|u_N\|^2=\langle\partial_tu_N,u_N\rangle=-\nu\|\nabla u_N\|^2-b(u_N,u_N,u_N)+\langle g_N,u_N\rangle=-\nu\|\nabla u_N\|^2+\langle g_N,u_N\rangle$$

です（補題 3.2）。$|\langle g_N,u_N\rangle|\le\|g_N\|_{-1}\|\nabla u_N\|\le\frac\nu2\|\nabla u_N\|^2+\frac1{2\nu}\|g_N\|_{-1}^2$ なので、積分して

$$\|u_N(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u_N\|^2ds\le\|u_0\|^2+\frac1\nu\int_0^t\|g_N\|_{-1}^2ds\le M^2,\qquad M^2:=\|u_0\|^2+\frac1\nu\bigl(\|f\|_{L^2(0,T;H^{-1})}+1\bigr)^2$$

を得ます。$\sum|a_k(t)|^2=\|u_N(t)\|^2\le M^2$ なので解は有界集合にとどまり、最大解は $[0,T]$ 全体で定義されます（定理 6.1［解の存在と一意性］）。同じ計算から、等式

$$\frac12\|u_N(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u_N\|^2ds=\frac12\|P_Nu_0\|^2+\int_0^t\langle g_N,u_N\rangle\,ds$$

が成り立ちます。

第 4 段（各係数の同程度連続性）。 $k\ne0$ を固定し、$N\ge|k|$ とします。$(u\cdot\nabla)u_j=\partial_i(u_iu_j)$ の第 $k$ 係数は $2\pi i\,k_i\widehat{(u_iu_j)}(k)$ で、$|\widehat{(u_iu)}(k)\,k_i|\le\int|k\cdot u|\,|u|\,dx\le|k|\,\|u\|^2$ なので、非線形項の係数の大きさは $2\pi|k|M^2$ 以下です。また $|\hat g_N(k,t)|\le2\pi|k|\,\|g_N(t)\|_{-1}$ です。常微分方程式を $s$ から $t$ まで積分すると

$$\lvert a_k^N(t)-a_k^N(s)\rvert\le\bigl(4\pi^2\nu|k|^2M+2\pi|k|M^2\bigr)|t-s|+2\pi|k|\bigl(\|f\|_{L^2(0,T;H^{-1})}+1\bigr)|t-s|^{1/2}$$

となり、右辺は $N$ によりません。よって各 $k$ について $(a_k^N)_N$ は $[0,T]$ 上で一様有界かつ同程度連続です。Arzelà–Ascoli の定理（系 3.4［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）を $k$ を数え上げて順に使い、対角線論法で部分列を取ると、すべての $k$ について $a_k^N\to a_k$ が $[0,T]$ 上一様に成り立つようにできます。以下この部分列を取り、$u(t)=\sum_ka_k(t)e_k$ とおきます。$a_{-k}=\bar a_k$、$k\cdot a_k=0$ は極限で保たれます。

第 5 段（極限の有界性）。 任意の $K$ について $\sum_{|k|\le K}|a_k(t)|^2=\lim_N\sum_{|k|\le K}|a_k^N(t)|^2\le\liminf_N\|u_N(t)\|^2$ なので、$K$ について上限を取って

$$\|u(t)\|^2\le\liminf_N\|u_N(t)\|^2\le M^2,\qquad\int_0^t\|\nabla u\|^2ds\le\liminf_N\int_0^t\|\nabla u_N\|^2ds\le\frac{M^2}{\nu}$$

です（後者は有限和に Fatou の補題 補題 6.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］ を使い、$K$ について上限を取る）。とくに $u(t)\in H$ で (a) が成り立ちます。

第 6 段（$L^2$ での強収束）。 任意の $K$ について

$$\int_0^T\|u_N-u\|^2dt=\int_0^T\sum_{|k|\le K}|a_k^N-a_k|^2dt+\int_0^T\sum_{|k|\gt K}|a_k^N-a_k|^2dt$$

です。第 2 項は、$|k|\gt K$ で $1\le|k|^2/K^2$ なので $\frac{1}{4\pi^2K^2}\int_0^T\|\nabla(u_N-u)\|^2dt\le\frac{1}{4\pi^2K^2}\cdot\frac{4M^2}{\nu}$ 以下です。第 1 項は有限和で、係数の一様収束により $N\to\infty$ で $0$ に収束します。$K$ は任意なので $\int_0^T\|u_N-u\|^2dt\to0$ です。高い周波数の寄与を $\|\nabla u\|$ の評価で抑えたことが、コンパクト性の中身です。

第 7 段（弱形式）。 $\varphi\in C^1([0,T];\mathcal{V}_K)$ とし $N\ge K$ とします。$P_N\mathbb{P}\varphi=\varphi$ なので、第 2 段の方程式から

$$\frac{d}{dt}\langle u_N,\varphi\rangle=\langle u_N,\partial_t\varphi\rangle-\nu\langle\nabla u_N,\nabla\varphi\rangle+\int u^N_iu^N_j\partial_i\varphi_j\,dx+\langle g_N,\varphi\rangle$$

で、これを $0$ から $t$ まで積分したものが $u_N$ の弱形式です。$N\to\infty$ とします。$\varphi$ は $|k|\le K$ の係数しか持たないので、$\langle u_N(t),\varphi(t)\rangle$、$\langle u_N,\partial_s\varphi\rangle$、$\langle\nabla u_N,\nabla\varphi\rangle$ は有限個の係数 $a_k^N$ の 1 次式で、一様収束により対応する $u$ の式に収束します。外力の項は $\bigl|\int_0^t\langle g_N-f,\varphi\rangle ds\bigr|\le\|g_N-f\|_{L^2(0,T;H^{-1})}\bigl(\int_0^T\|\nabla\varphi\|^2\bigr)^{1/2}\to0$ です。非線形項は、$u^N_iu^N_j-u_iu_j=(u^N_i-u_i)u^N_j+u_i(u^N_j-u_j)$ と Cauchy–Schwarz の不等式により

$$\Bigl|\int_0^t\!\!\int(u^N_iu^N_j-u_iu_j)\partial_i\varphi_j\,dx\,ds\Bigr|\le\sup|\nabla\varphi|\int_0^T\|u_N-u\|\bigl(\|u_N\|+\|u\|\bigr)ds\le2M\sqrt T\sup|\nabla\varphi|\Bigl(\int_0^T\|u_N-u\|^2\Bigr)^{1/2}\to0$$

です（第 6 段）。$P_Nu_0\to u_0$ と合わせて (b) が得られます。

第 8 段（エネルギー不等式）。 $t$ を固定します。第 3 段の等式の左辺について、第 5 段から $\frac12\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u\|^2\le\liminf_N\bigl(\frac12\|u_N(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u_N\|^2\bigr)$ です。右辺について、$\|P_Nu_0\|\to\|u_0\|$ で、

$$\int_0^t\langle g_N,u_N\rangle-\int_0^t\langle f,u\rangle=\int_0^t\langle g_N-f,u_N\rangle+\int_0^t\langle f-P_Kf,u_N-u\rangle+\int_0^t\langle P_Kf,u_N-u\rangle$$

と分けます。第 1 項は $\|g_N-f\|_{L^2(0,T;H^{-1})}M/\sqrt\nu\to0$、第 2 項は $\|f-P_Kf\|_{L^2(0,T;H^{-1})}\cdot2M/\sqrt\nu$ 以下で $K$ を大きくすれば $N$ によらず小さく、第 3 項は有限和 $\int_0^t\sum_{|k|\le K}\hat f(k,s)\cdot\overline{(a_k^N-a_k)}\,ds$ で、係数の一様収束と $\hat f(k,\cdot)\in L^1(0,T)$ により $N\to\infty$ で $0$ に収束します。よって (c) が成り立ちます。定理の評価式は、第 3 段の最初の不等式 $\|u_N(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u_N\|^2\le\|u_0\|^2+\frac1\nu\int_0^t\|g_N\|_{-1}^2$ で、左辺に第 5 段を、右辺に $\int_0^t\|g_N\|_{-1}^2\to\int_0^t\|f\|_{-1}^2$ を使えば得られます。

∎

注意 5.3（証明に使ったコンパクト性）

通常の教科書では第 6 段を Aubin–Lions の補題で行います。ここではトーラス上の Fourier 係数が可算個であることを使い、係数ごとの Arzelà–Ascoli と高周波の裾の評価に分けました。$\|\nabla u_N\|$ の一様評価が無ければ裾を抑えられず、$u^N_iu^N_j$ の極限が $u_iu_j$ である保証はなくなります。Euler 方程式（$\nu=0$）で同じ方法が使えないのはこのためです。

定理 5.4（Leray の存在定理（全空間））※

$\nu\gt0$ とする。$u_0\in L^2(\mathbb{R}^3)$ が超関数の意味で発散なしならば、$\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上に、$u\in L^\infty(0,\infty;L^2)$、$\nabla u\in L^2(0,\infty;L^2)$ で、Navier–Stokes 方程式（$f=0$）を超関数の意味で満たし、エネルギー不等式 $\frac12\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u\|^2ds\le\frac12\|u_0\|^2$ をすべての $t\ge0$ で満たす弱解が存在する。

注意 5.5（主張のみとする理由）

定理 5.4 は主張のみです。出典は Leray の 1934 年の論文（参考文献 [2]）で、教科書の証明は参考文献 [5] にあります。証明の構造は 定理 5.2 と同じですが、全空間では Fourier 変数が連続で、強収束は有界集合の上でしか得られないため、空間の遠方の寄与を別に抑える議論（局所的なコンパクト性と切り落とし）が加わります。新しい考えは要らず分量だけが増えるので、この記事ではトーラスの場合に証明を限りました。

6. 2 次元：弱解の一意性と大域的な評価

2 次元では 補題 4.3 の $\|u\|_4^2\le C\|u\|\,\|\nabla u\|$ により、エネルギーの評価だけで $u\in L^4$（時空）が出ます。これで非線形項が「自分自身と組める」ようになり、3 次元では閉じない議論が閉じます。

補題 6.1（積分で与えられた関数の 2 乗）✓

$h\in L^1(0,T;\mathbb{C}^m)$、$y(t)=y_0+\int_0^th(s)\,ds$ とする。このとき $|y(t)|^2=|y_0|^2+2\operatorname{Re}\int_0^t\overline{y(s)}\cdot h(s)\,ds$。

証明（補題 6.1）

$\int_0^t\overline{y(s)}\cdot h(s)ds=\bar y_0\cdot\int_0^th+\int_0^t\!\int_0^s\overline{h(r)}\cdot h(s)\,dr\,ds$ です。被積分関数は $[0,t]^2$ 上で可積分なので Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）が使え、$r$ と $s$ を入れ替えた積分は元の積分の複素共役です。$[0,t]^2$ は $\{r\lt s\}$ と $\{s\lt r\}$ に（測度 $0$ を除いて）分かれるので $2\operatorname{Re}\int_0^t\!\int_0^s\overline{h(r)}\cdot h(s)\,dr\,ds=\bigl|\int_0^th\bigr|^2$ です。よって右辺は $|y_0|^2+2\operatorname{Re}(\bar y_0\cdot\int_0^th)+|\int_0^th|^2=|y(t)|^2$ です。

∎

定理 6.2（2 次元の一意性と大域的な先験評価（Ladyzhenskaya））✓

$d=2$、$\nu\gt0$ とする。

(i) 一意性。 $u_0\in H$、$f\in L^2(0,T;H^{-1})$ に対する $\mathbb{T}^2\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解はただ 1 つである。

(ii) 先験評価。 $(u,p)$ を $\mathbb{T}^2\times[0,T]$ 上の滑らかな解、$f$ を滑らかな周期的外力とし、$u_0$ と $f(t)$ の平均は $0$ とする。渦度 $\omega=\partial_1u_2-\partial_2u_1$ と $g=\partial_1f_2-\partial_2f_1$ について、すべての $0\le t\le T$ で

$$\|\nabla u(t)\|=\|\omega(t)\|\le\|\omega_0\|+\int_0^t\|g(s)\|\,ds .$$

とくに $f=0$ なら $\|\nabla u(t)\|\le\|\nabla u_0\|$ で、評価は $T$ によらない。

証明（定理 6.2）

(i) $u,v$ を同じデータの弱解とし、$w=u-v$、$G_{ij}=u_iu_j-v_iv_j$ とおきます。$\sup_t\|u\|,\sup_t\|v\|\le M$、$\int_0^T\|\nabla u\|^2,\int_0^T\|\nabla v\|^2\le M^2/\nu$ となる $M$ を取ります。補題 4.3 (iv) により $\int_0^T\|u\|_4^4dt\le C^2\int_0^T\|u\|^2\|\nabla u\|^2dt\le C^2M^4/\nu$ で、$v$ も同様です。よって $G\in L^2(\mathbb{T}^2\times(0,T))$ です。

弱形式 (b) の差を、時間によらない $\varphi\in\mathcal{V}_K$ について取ると

$$\langle w(t),\varphi\rangle=\int_0^t\Bigl(-\nu\langle\nabla w,\nabla\varphi\rangle+\int G_{ij}\partial_i\varphi_j\,dx\Bigr)ds$$

です。$\varphi=ce_k+\bar ce_{-k}$（$c\perp k$）と取ると、$\hat w(k,t)=\int_0^th_k(s)ds$、$h_k=-4\pi^2\nu|k|^2\hat w(k)-\Pi_k\,2\pi ik_i\hat G_{i\cdot}(k)$ の形で、$h_k\in L^2(0,T)$ です。補題 6.1 を各 $k$ に使って $|k|\le K$ で和を取ると、$w_K=P_Kw$ について

$$\frac12\|w_K(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla w_K\|^2ds=\int_0^t\!\!\int G_{ij}\,\partial_i(w_K)_j\,dx\,ds$$

となります（右辺は Parseval の等式 補題 4.1 で係数の和を積分に戻したもの）。$K\to\infty$ とすると、$\nabla w_K\to\nabla w$ が $L^2(\mathbb{T}^2\times(0,T))$ で成り立ち、$G\in L^2$ なので

$$\frac12\|w(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla w\|^2ds=\int_0^t\!\!\int G_{ij}\,\partial_iw_j\,dx\,ds,\qquad G_{ij}=w_iu_j+v_iw_j$$

です。

$\int v_iw_j\partial_iw_j\,dx=0$ を示します。三角多項式 $w_K$ については $v_iw^K_j\partial_iw^K_j=\frac12v\cdot\nabla|w_K|^2$ で、$v(s)\in H$ は滑らかな関数の勾配と直交する（定義 4.2 の後の注意）ので積分は $0$ です。ほとんどすべての $s$ で $v(s),w(s)\in V$ であり、$w_K\to w$ は $L^4$ で、$\nabla w_K\to\nabla w$ は $L^2$ で収束し（補題 4.3 (iv)）、$v\in L^4$ なので、Hölder の不等式により $K\to\infty$ で $\int v_iw_j\partial_iw_j\,dx=0$ です。

残りの項は、Hölder の不等式と 補題 4.3 により

$$\Bigl|\int w_iu_j\partial_iw_j\,dx\Bigr|\le\|w\|_4\|u\|_4\|\nabla w\|\le C^{1/2}\|u\|_4\|w\|^{1/2}\|\nabla w\|^{3/2}\le\nu\|\nabla w\|^2+\frac{C'}{\nu^3}\|u\|_4^4\|w\|^2$$

です（最後は Young の不等式 $ab\le\frac34(\varepsilon a)^{4/3}+\frac14(b/\varepsilon)^4$ を $a=\|\nabla w\|^{3/2}$ に使う。補題 4.1［L^p 空間と関数解析への導入］）。したがって $\|w(t)\|^2\le\int_0^t\beta(s)\|w(s)\|^2ds$、$\beta=2C'\nu^{-3}\|u\|_4^4\in L^1(0,T)$ です。$t\mapsto\int_0^t\beta$ は連続なので、$[0,T]$ を有限個の区間 $[t_j,t_{j+1}]$ に分けて各区間で $\int_{t_j}^{t_{j+1}}\beta\le\frac12$ とできます。$[0,t_j]$ で $w=0$ と分かっているとし、$m_j=\sup_{t_j\le t\le t_{j+1}}\|w(t)\|^2\lt\infty$ とおくと、$t\in[t_j,t_{j+1}]$ で $\|w(t)\|^2\le\int_{t_j}^t\beta\|w\|^2ds\le\frac12m_j$ なので $m_j\le\frac12m_j$、すなわち $m_j=0$ です。$j$ についての帰納法で $[0,T]$ 全体で $w=0$ です。

(ii) 方程式の第 2 成分を $x_1$ で、第 1 成分を $x_2$ で微分して引くと、圧力が消えて

$$\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega+g$$

です。実際 $\partial_1(u_i\partial_iu_2)-\partial_2(u_i\partial_iu_1)=u_i\partial_i\omega+(\partial_1u_i\partial_iu_2-\partial_2u_i\partial_iu_1)$ で、括弧の中は $\partial_1u_1\partial_1u_2+\partial_1u_2\partial_2u_2-\partial_2u_1\partial_1u_1-\partial_2u_2\partial_2u_1=(\partial_1u_1+\partial_2u_2)(\partial_1u_2-\partial_2u_1)=0$ です。3 次元の渦度方程式にある伸張項 $(\omega\cdot\nabla)u$ が、2 次元では現れません。$\omega$ を掛けて積分すると、$\int(u\cdot\nabla\omega)\omega=\frac12\int u\cdot\nabla\omega^2=0$ なので

$$\frac12\frac{d}{dt}\|\omega\|^2+\nu\|\nabla\omega\|^2=\langle g,\omega\rangle\le\|g\|\,\|\omega\| .$$

$\delta\gt0$ に対し $\frac{d}{dt}(\|\omega\|^2+\delta)^{1/2}=\frac{\frac{d}{dt}\|\omega\|^2}{2(\|\omega\|^2+\delta)^{1/2}}\le\|g\|$ なので、積分して $\delta\to0$ とすると $\|\omega(t)\|\le\|\omega_0\|+\int_0^t\|g\|$ です。最後に、$k\cdot\hat u(k)=0$ のとき $\hat\omega(k)=2\pi i(k_1\hat u_2-k_2\hat u_1)$ で、$|k_1\hat u_2-k_2\hat u_1|^2+|k\cdot\hat u|^2=|k|^2|\hat u|^2$（Lagrange の恒等式）なので $\|\omega\|^2=4\pi^2\sum|k|^2|\hat u(k)|^2=\|\nabla u\|^2$ です。

∎

(ii) の評価が時間によらず成り立つことから、滑らかな解は壊れることなく延長でき、2 次元では (A)(B) に当たる主張が成り立ちます（延長の仕組みは 定理 7.3 の 2 次元版です）。

7. 3 次元の強解：局所的な評価

3 次元で同じことを試みます。この節では $\Omega=\mathbb{T}^3$（$u_0$ と $f(t)$ の平均は $0$）または $\Omega=\mathbb{R}^3$（定義 3.1 の減衰する解）とします。

命題 7.1（‖∇u‖² の微分不等式）✓

$\Omega$ だけで決まる定数 $C_0$ があって、$\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかな解 $(u,p)$（外力 $f$ は連続で $f(t)\in L^2$）について、$y(t)=\|\nabla u(t)\|^2$ は

$$\frac{dy}{dt}+\nu\|\Delta u\|^2\le\frac{C_0}{\nu^3}\,y^3+\frac2\nu\|f\|^2$$

を満たす。

証明（命題 7.1）

方程式と $-\Delta u$ の内積を取ります。部分積分により $\langle\partial_tu,-\Delta u\rangle=\frac12\frac{d}{dt}\|\nabla u\|^2$、$\langle\nu\Delta u,-\Delta u\rangle=-\nu\|\Delta u\|^2$ です。圧力項は $\partial_j(p\,\Delta u_j)=\partial_jp\,\Delta u_j+p\,\Delta(\operatorname{div}u)=\partial_jp\,\Delta u_j$ を積分して $\langle\nabla p,\Delta u\rangle=0$ です（境界項の扱いは 命題 3.3 と同じ）。よって

$$\frac12\frac{dy}{dt}+\nu\|\Delta u\|^2=\langle(u\cdot\nabla)u,\Delta u\rangle-\langle f,\Delta u\rangle .$$

右辺第 1 項を評価します。Hölder の不等式（指数 $6,3,2$。定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）により $|\langle(u\cdot\nabla)u,\Delta u\rangle|\le\|u\|_6\|\nabla u\|_3\|\Delta u\|$ です。補題 4.3 を $u$ に使って $\|u\|_6\le C\|\nabla u\|$、各 $\partial_iu_j$（トーラスでは平均 $0$）に使って $\|\nabla u\|_3\le C\|\nabla u\|^{1/2}\|D^2u\|^{1/2}$ です。2 回の部分積分で $\int\partial_i\partial_ju_k\,\partial_i\partial_ju_k=\int\partial_i\partial_iu_k\,\partial_j\partial_ju_k$、すなわち $\|D^2u\|=\|\Delta u\|$ なので

$$\lvert\langle(u\cdot\nabla)u,\Delta u\rangle\rvert\le C^2\,y^{3/4}\,\|\Delta u\|^{3/2}\le\frac\nu4\|\Delta u\|^2+\frac{C_1}{\nu^3}y^3$$

です。最後は Young の不等式 $ab\le\frac34(\varepsilon a)^{4/3}+\frac14(b/\varepsilon)^4$ を $a=\|\Delta u\|^{3/2}$、$b=C^2y^{3/4}$、$\frac34\varepsilon^{4/3}=\frac\nu4$ で使いました（$\varepsilon^{-4}=27\nu^{-3}$）。第 2 項は $|\langle f,\Delta u\rangle|\le\frac\nu4\|\Delta u\|^2+\frac1\nu\|f\|^2$ です。合わせて $\frac12y'+\frac\nu2\|\Delta u\|^2\le C_1\nu^{-3}y^3+\nu^{-1}\|f\|^2$ となり、2 倍して $C_0=2C_1$ とおけば主張です。

∎

2 次元では同じ計算で $\|u\|_4\|\nabla u\|_4\|\Delta u\|\le C\|u\|^{1/2}\|\nabla u\|\,\|\Delta u\|^{3/2}$ となり、右辺は $y^2\|u\|^2$ の形、すなわち $y$ について線形（係数 $y\|u\|^2$ が時間について可積分）になって大域的に閉じます。3 次元の $y^3$ は有限時間で発散しうる常微分不等式で、そこから先に進めません。

系 7.2（存在時間の下界と小さい初期値）✓

命題 7.1 の状況で $f=0$、$u_0\ne0$ とする。

(i) 解が存在する限り、$0\le t\lt T_1:=\dfrac{\nu^3}{2C_0\|\nabla u_0\|^4}$ で

$$\|\nabla u(t)\|^2\le\frac{\|\nabla u_0\|^2}{\bigl(1-2C_0\nu^{-3}\|\nabla u_0\|^4\,t\bigr)^{1/2}} .$$

(ii) $\|u_0\|^2\|\nabla u_0\|^2\lt\nu^4/C_0$ ならば、解が存在する限り $\|\nabla u(t)\|\le\|\nabla u_0\|$ である。

証明（系 7.2）

(i) $\delta\gt0$ とし $Y=y+\delta$ とおくと $Y'=y'\le C_0\nu^{-3}y^3\le C_0\nu^{-3}Y^3$、$Y\gt0$ なので $(Y^{-2})'=-2Y'Y^{-3}\ge-2C_0\nu^{-3}$ です。積分して $Y(t)^{-2}\ge Y(0)^{-2}-2C_0\nu^{-3}t$、右辺が正である間 $Y(t)\le(Y(0)^{-2}-2C_0\nu^{-3}t)^{-1/2}$ です。$\delta\to0$ として、$y(0)^{-2}-2C_0\nu^{-3}t\gt0$ すなわち $t\lt T_1$ で主張の式を得ます。

(ii) Cauchy–Schwarz の不等式により $y=\|\nabla u\|^2=-\langle u,\Delta u\rangle\le\|u\|\,\|\Delta u\|$ で、命題 3.3 から $\|u(t)\|\le\|u_0\|$ なので $\|\Delta u\|^2\ge y^2/\|u_0\|^2$ です。よって

$$y'\le y^2\Bigl(\frac{C_0}{\nu^3}\,y-\frac{\nu}{\|u_0\|^2}\Bigr).$$

$y_*=\nu^4/(C_0\|u_0\|^2)$ とおくと仮定は $y(0)\lt y_*$ で、$y\lt y_*$ である間は $y'\le0$ です。$y(t)\gt y(0)$ となる時刻があったとし、そのような時刻の下限を $t_1$ とします。連続性から $y(t_1)=y(0)\lt y_*$ で、$t_1$ の右側の小さい区間で $y\lt y_*$、したがって $y'\le0$、$y\le y(t_1)=y(0)$ となり、$t_1$ の取り方に反します。

∎

(ii) の条件 $\|u_0\|\,\|\nabla u_0\|\lt\nu^2/\sqrt{C_0}$ の左辺は、命題 3.5 により $\lambda^{-1/2}\lambda^{1/2}=1$ 倍、すなわちスケール不変です。「小さい初期値」の条件は必ず臨界な量で書かれます。

定理 7.3（滑らかな解の局所存在と延長の判定）※

$\Omega=\mathbb{R}^3$ または $\mathbb{T}^3$、$\nu\gt0$ とする。$u_0$ を滑らかな発散なしベクトル場、$f$ を滑らかな外力とし、$\mathbb{R}^3$ では (4)(5)、$\mathbb{T}^3$ では (8)(9) を満たすとする（定義 2.2）。

(i) $T\gt0$ と $\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかな解 $(u,p)$ が存在し、$\mathbb{R}^3$ ではすべての $m$ について $u\in C([0,T');H^m)$（$T'\lt T$）である。この性質をもつ滑らかな解は一意である。$f=0$ のとき、$T\ge c\,\nu^3/\|\nabla u_0\|^4$（$c$ は絶対定数）と取れる。

(ii) (i) の解が存在する最大の $T$ を $T^*$ とする。$T^*\lt\infty$ ならば $\limsup_{t\uparrow T^*}\|\nabla u(t)\|=\infty$ である。

注意 7.4（主張のみとする理由）

定理 7.3 は主張のみです。出典は Leray の論文（参考文献 [2]）で、教科書の証明は参考文献 [5] にあります。存在時間を決める先験評価は 命題 7.1 と 系 7.2 で証明しました。主張として残したのは、(a) この評価を保つ近似解（Galerkin 近似など）の極限として解を構成すること、(b) $\|\nabla u\|$ が有界な区間で高階の導関数を順に評価して滑らかさを得ること（bootstrap）、(c) 全空間での圧力と減衰の扱い、の 3 点です。

定理 7.5（小さい臨界ノルムの初期値に対する大域解）※

$\nu\gt0$、$f=0$ とする。絶対定数 $\varepsilon\gt0$ があって、発散なしの $u_0\in\dot H^{1/2}(\mathbb{R}^3)$ が $\|u_0\|_{\dot H^{1/2}}\le\varepsilon\nu$ を満たせば、$u\in C([0,\infty);\dot H^{1/2})\cap L^2(0,\infty;\dot H^{3/2})$ となる解が大域的にただ 1 つ存在し、$t\gt0$ で滑らかである（Fujita–Kato）。同じ型の結果が、$\|u_0\|_{L^3}\le\varepsilon\nu$（Kato）、$\|u_0\|_{BMO^{-1}}\le\varepsilon\nu$（Koch–Tataru）についても成り立つ。

注意 7.6（主張のみとする理由）

定理 7.5 は主張のみです。出典は参考文献 [6] と、T. Kato, Math. Z. 187 (1984)、H. Koch・D. Tataru, Adv. Math. 157 (2001) です。これらは熱半群（定義 4.1［熱方程式］）を使って方程式を積分方程式 $u(t)=e^{\nu t\Delta}u_0-\int_0^te^{\nu(t-s)\Delta}\mathbb{P}\operatorname{div}(u\otimes u)(s)\,ds$ に書き直し、臨界な空間で縮小写像の原理を使う方法（mild 解）によります。系 7.2 (ii) はその最も素朴な形です。3 つの空間は $\dot H^{1/2}\subset L^3\subset BMO^{-1}$ の順に広く、どれも 命題 3.5 の意味で臨界です。この方法が大きい初期値に届かないことが、問題の中心です。

8. 弱強一意性

弱解の一意性は 3 次元では分かっていません。しかし、同じデータの滑らかな解が存在する区間では、弱解はそれに一致します。弱解の側に要るのはエネルギー不等式だけです。

補題 8.1（試験関数の拡張）✓

$u$ を $\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解とする。弱形式 (b) は、$\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の滑らかで、各時刻で発散なし・平均 $0$ の任意の $\varphi$ についても成り立つ。

証明（補題 8.1）

$\varphi_K=P_K\varphi\in C^1([0,T];\mathcal{V}_K)$ について (b) が成り立ちます。$m=3$ として $\Delta^m$ を部分積分で $e_{-k}$ に移すと $(4\pi^2|k|^2)^m|\hat\varphi(k,t)|\le\sup|\Delta^m\varphi|$ で、$\partial_t\varphi$ についても同じなので、$|\hat\varphi(k,t)|+|\partial_t\hat\varphi(k,t)|\le C|k|^{-6}$ です。$d\le3$ で $\sum_{k\ne0}|k|\cdot|k|^{-6}\lt\infty$ なので、$K\to\infty$ のとき $\sup|\varphi-\varphi_K|$、$\sup|\nabla(\varphi-\varphi_K)|$、$\sup|\partial_t(\varphi-\varphi_K)|$ はすべて $0$ に収束します。(b) の各項は、$\sup_t\|u\|\lt\infty$、$\int_0^T\|\nabla u\|^2\lt\infty$、$|\langle f,\varphi-\varphi_K\rangle|\le\|f\|_{-1}\|\nabla(\varphi-\varphi_K)\|$ によりこれらの量で抑えられるので、極限でも (b) が成り立ちます。

∎

定理 8.2（弱強一意性）✓

$\nu\gt0$、$T\gt0$ とする。

(i) トーラス、弱解と滑らかな解。 $d\in\{2,3\}$ とし、$(u,p)$ を $\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の滑らかな解、外力 $f$ は滑らかで、$u_0$ と $f(t)$ の平均は $0$ とする。同じ $u_0$ と $f$ に対する $\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解 $v$ は、$[0,T]$ 上で $u$ に一致する。

(ii) トーラス、滑らかな解どうし。 $(u,p)$ と $(v,P)$ を $\mathbb{T}^3\times[0,T]$ 上の滑らかな解（速度も圧力も周期的。平均の条件は課さない）で、初期値と外力が等しいものとする。このとき $u=v$。

(iii) 全空間、滑らかな解どうし。 $(u,p)$ と $(v,P)$ を $\mathbb{R}^3\times[0,T]$ 上の滑らかな解で、初期値と外力が等しいものとする。$\nabla u$ は $\mathbb{R}^3\times[0,T]$ で有界とし、

$$\sup_{0\le t\le T}\bigl(\|u(t)\|+\|v(t)\|\bigr)\lt\infty,\qquad\int_0^T\bigl(\|u\|_3^3+\|v\|_3^3\bigr)dt\lt\infty,\qquad\int_0^T\|P-p\|_{3/2}^{3/2}dt\lt\infty$$

を仮定する。このとき $u=v$。

証明（定理 8.2）

$L=\sup_{\Omega\times[0,T]}|\nabla u|\lt\infty$ とおきます。

(i) まず $u(t)$ の平均が $0$ であることを確かめます。方程式を $\mathbb{T}^d$ 上で積分すると、$(u\cdot\nabla)u_j=\partial_i(u_iu_j)$、$\Delta u$、$\nabla p$ の積分は周期性により $0$ なので $\frac{d}{dt}\int u\,dx=\int f\,dx=0$ で、$u_0$ の平均が $0$ だからです。したがって $u$ は 補題 8.1 の試験関数に使えます。

3 つの関係式を使います。第 1 に、$v$ のエネルギー不等式（定義 5.1 (c)）。第 2 に、$u$ のエネルギー等式（命題 3.3）。第 3 に、$v$ の弱形式に $\varphi=u$ を入れたもの（補題 8.1）:

$$\langle v(t),u(t)\rangle=\|u_0\|^2+\int_0^t\Bigl(\langle v,\partial_su\rangle-\nu\langle\nabla v,\nabla u\rangle+\int v_iv_j\partial_iu_j\,dx+\langle f,u\rangle\Bigr)ds .$$

ここに $\partial_su=\nu\Delta u-(u\cdot\nabla)u-\nabla p+f$ を代入します。$v(s)\in H$ なので $\langle v,\nabla p\rangle=0$、Parseval の等式（補題 4.1）により $\langle v,\Delta u\rangle=-\langle\nabla v,\nabla u\rangle$ です。よって

$$\langle v(t),u(t)\rangle=\|u_0\|^2+\int_0^t\Bigl(-2\nu\langle\nabla v,\nabla u\rangle-\int u_i\partial_iu_j\,v_j\,dx+\int v_iv_j\partial_iu_j\,dx+\langle f,u+v\rangle\Bigr)ds .$$

$w=v-u$ とおくと $\frac12\|w\|^2=\frac12\|v\|^2+\frac12\|u\|^2-\langle v,u\rangle$ で、第 1・第 2 の関係式の和から上の式を引くと、外力の項と初期値の項が消えて

$$\frac12\|w(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla w\|^2ds\le\int_0^t\Bigl(\int u_i\partial_iu_j\,v_j\,dx-\int v_iv_j\partial_iu_j\,dx\Bigr)ds$$

となります。右辺の被積分関数は $-\int w_i\,\partial_iu_j\,v_j\,dx=-\int w_i\partial_iu_j\,w_j\,dx-\int w_i\partial_iu_j\,u_j\,dx$ です。最後の項は $\frac12\int w\cdot\nabla|u|^2dx$ で、$w(s)\in H$ が滑らかな関数の勾配と直交することから $0$ です。したがって

$$\|w(t)\|^2\le2L\int_0^t\|w(s)\|^2ds .$$

$\Phi(t)=\int_0^t\|w\|^2ds$ は連続で $\Phi(t)\le\int_0^t2L\,\Phi(s)\,ds$ を満たすので、Gronwall の不等式（補題 3.1［解の存在と一意性］、$\alpha=0$）により $\Phi\equiv0$、よって $\|w(t)\|^2\le2L\Phi(t)=0$ です。

(ii) $w=v-u$、$\pi=P-p$ は滑らかで周期的で、方程式の差は

$$\partial_tw+(v\cdot\nabla)w+(w\cdot\nabla)u=\nu\Delta w-\nabla\pi,\qquad\operatorname{div}w=0$$

です（$(v\cdot\nabla)v-(u\cdot\nabla)u=(v\cdot\nabla)w+(w\cdot\nabla)u$）。$w$ との内積を取ると、補題 3.2 により $b(v,w,w)=0$、周期性により $\langle\nabla\pi,w\rangle=0$ なので $\frac12\frac{d}{dt}\|w\|^2+\nu\|\nabla w\|^2=-\int w_i\partial_iu_jw_j\le L\|w\|^2$ です。$\|w(0)\|=0$ と Gronwall の不等式から $w=0$ です。

(iii) 同じ差の方程式が成り立ちますが、$w$ と $\pi$ の遠方での振る舞いが分からないので、切り落としを入れます。$\chi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$ を $0\le\chi\le1$、$|x|\le1$ で $\chi=1$ と取り、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$ とおくと $|\nabla\chi_R|\le C/R$、$|\Delta\chi_R|\le C/R^2$ です。差の方程式に $\chi_Rw$ を掛けて積分します（台がコンパクトなので部分積分の境界項はありません）。各項は

$$\begin{aligned} \int\chi_R\,(v\cdot\nabla)w\cdot w&=\frac12\int\chi_R\,v\cdot\nabla|w|^2=-\frac12\int|w|^2\,v\cdot\nabla\chi_R,\\ \nu\int\chi_R\,w\cdot\Delta w&=-\nu\int\chi_R|\nabla w|^2-\frac\nu2\int\nabla\chi_R\cdot\nabla|w|^2=-\nu\int\chi_R|\nabla w|^2+\frac\nu2\int|w|^2\Delta\chi_R,\\ -\int\chi_R\,w\cdot\nabla\pi&=\int\pi\,w\cdot\nabla\chi_R \end{aligned}$$

です（第 1・第 3 式で $\operatorname{div}v=\operatorname{div}w=0$ を使う）。$E_R(t)=\int\chi_R|w(t)|^2dx$ とおくと

$$\frac12E_R'+\nu\int\chi_R|\nabla w|^2=-\int\chi_R\,w_i\partial_iu_jw_j+\frac\nu2\int|w|^2\Delta\chi_R+\frac12\int|w|^2v\cdot\nabla\chi_R+\int\pi\,w\cdot\nabla\chi_R .$$

右辺第 1 項は $LE_R$ 以下です。残りは Hölder の不等式により

$$\frac{C\nu}{R^2}\|w\|^2+\frac{C}{R}\|w\|_3^2\|v\|_3+\frac{C}{R}\|\pi\|_{3/2}\|w\|_3$$

以下で、仮定と $\|w\|_3\le\|u\|_3+\|v\|_3$、および時間についての Hölder の不等式 $\int_0^T\|\pi\|_{3/2}\|w\|_3\le(\int_0^T\|\pi\|_{3/2}^{3/2})^{2/3}(\int_0^T\|w\|_3^3)^{1/3}$ により、この 3 項の $[0,T]$ 上の積分は $R\ge1$ によらない定数 $K_0$ を使って $K_0/R$ 以下です。$E_R(0)=0$ なので

$$E_R(t)\le\frac{2K_0}{R}+\int_0^t2L\,E_R(s)\,ds,$$

Gronwall の不等式により $E_R(t)\le\frac{2K_0}{R}e^{2LT}$ です。$R\to\infty$ とすると単調収束定理（定理 5.2［ルベーグ積分の定義と収束定理］）により $E_R(t)\to\|w(t)\|^2$ なので、$w=0$ です。

∎

注意 8.3（全空間の場合の仮定について）

Fefferman の条件 (6)(7) が解に課すのは、滑らかさとエネルギーの有界性だけです。(iii) の残りの 2 つの可積分性は、その条件からは直ちには出ません。条件 (6)(7) だけから $u=v$ を導くには、圧力の勾配が $\nabla\pi=\nabla\sum_{i,j}R_iR_j(v_iv_j-u_iu_j)$（$R_i$ は Riesz 変換）と決まることを示し、Riesz 変換の $L^p$ 有界性（Calderón–Zygmund の理論）で圧力の流束を抑える議論が要ります。その理論は Rikai に未収録なので、この記事では上の仮定のもとで証明しました。第 11 章 でこの点にもう一度触れます。

9. 厳密解の例

例 9.1（2 次元の Taylor–Green 渦）

周期 $2\pi$ の正方形の上で

$$u(x,y,t)=e^{-2\nu t}\bigl(\sin x\cos y,\ -\cos x\sin y\bigr),\qquad p(x,y,t)=\frac{e^{-4\nu t}}{4}\bigl(\cos2x+\cos2y\bigr)$$

とおきます。$\partial_xu_1+\partial_yu_2=e^{-2\nu t}(\cos x\cos y-\cos x\cos y)=0$ です。$\Delta u=-2u$ なので $\partial_tu=-2\nu u=\nu\Delta u$。非線形項は

$$(u\cdot\nabla)u=e^{-4\nu t}\bigl(\sin x\cos x(\cos^2y+\sin^2y),\ \sin y\cos y(\sin^2x+\cos^2x)\bigr)=\frac{e^{-4\nu t}}{2}(\sin2x,\sin2y)=-\nabla p$$

です。よって $f=0$ の Navier–Stokes 方程式の解で、エネルギーは $e^{-4\nu t}$ に比例して減ります。命題 3.3 と合うことは、$\|\nabla u\|^2=2\|u\|^2$ から $\frac{d}{dt}\frac12\|u\|^2=-2\nu\|u\|^2=-\nu\|\nabla u\|^2$ と確かめられます。

例 9.2（Beltrami 流では非線形項が勾配になる）

恒等式 $(u\cdot\nabla)u=\nabla\frac{|u|^2}{2}-u\times\operatorname{curl}u$ により、$\operatorname{curl}u=\mu u$（$\mu$ は定数）を満たす発散なしの場では $(u\cdot\nabla)u=\nabla\frac{|u|^2}{2}$ です。このとき $\Delta u=-\operatorname{curl}\operatorname{curl}u=-\mu^2u$ なので、$u(x,t)=e^{-\nu\mu^2t}u_0(x)$、$p=-\frac12|u|^2$ が $f=0$ の解です。例えば $\mathbb{R}^3/(2\pi\mathbb{Z})^3$ 上の

$$u_0=(A\sin z+C\cos y,\ B\sin x+A\cos z,\ C\sin y+B\cos x)$$

は $\operatorname{curl}u_0=u_0$ を満たします（$\partial_yu_{0,3}-\partial_zu_{0,2}=C\cos y+A\sin z$ など）。非線形項が圧力に吸収されて線形の熱方程式に帰着する、3 次元の大域解の族です。

例 9.3（Burgers 渦）

円柱座標 $(r,\theta,z)$ で、$\alpha\gt0$、$\Gamma\in\mathbb{R}$ に対し

$$u_r=-\frac{\alpha r}{2},\qquad u_z=\alpha z,\qquad u_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}\Bigl(1-e^{-\alpha r^2/(4\nu)}\Bigr)$$

は定常な Navier–Stokes 方程式の解です。$\frac1r\partial_r(ru_r)+\partial_zu_z=-\alpha+\alpha=0$。軸方向の渦度は $\omega=\frac1r(ru_\theta)'=\frac{\Gamma\alpha}{4\pi\nu}e^{-\alpha r^2/(4\nu)}$ で、方位角方向の方程式は $u_r\,\omega=\nu\,\omega'$ と同値です。実際 $\nu\omega'=-\frac{\alpha r}{2}\omega$ です。内向きの流れが渦度を軸に集め、軸方向の伸張がそれを強め、粘性の拡散がちょうど釣り合います。芯の半径は $\sqrt{\nu/\alpha}$ です。この解はエネルギーが無限大で、問題文の条件 (7) を満たしませんが、「伸張と拡散の釣り合い」という 3 次元に固有の機構を見せる基本例で、第 11 章の構成の主部もこの型（内向きの渦巻きと軸方向の流出）です。

例 9.4（平面 Couette 流と Poiseuille 流）

$u=(U(y),0,0)$ の形の流れでは $(u\cdot\nabla)u=U\partial_xu=0$ で、非線形項が恒等的に消えます。定常解は $\nu U''=\partial_xp$ を満たし、$\partial_xp=0$ なら $U=ay+b$（Couette 流）、$\partial_xp=-G$（定数）なら $U=\frac{G}{2\nu}y(h-y)$（幅 $h$ の水路の Poiseuille 流）です。どちらも全空間やトーラスの解ではありませんが、非線形項が消える対称性の典型です。難しさは、こうした対称性が無い流れにだけ現れます。

10. 演習

演習 10.1易

$d=3$ とする。$\|u\|_{L^p(0,T;L^q(\mathbb{R}^3))}$ がスケール変換 $u\mapsto u_\lambda$（時間区間は $[0,T/\lambda^2)$）で不変になるための $p,q$ の条件を求めよ。また、エネルギー等式から有界と分かる $\|u\|_{L^\infty_tL^2_x}$ と $\|\nabla u\|_{L^2_tL^2_x}$ から、Sobolev の不等式と補間で得られる $L^p_tL^q_x$ の評価は、$2/p+3/q$ がいくつのものか。

解答

例 3.6 の計算により、$\|u_\lambda\|_{L^pL^q}=\lambda^{1-2/p-3/q}\|u\|_{L^pL^q}$ なので、不変である条件は $2/p+3/q=1$ です。一方 $\|u\|_6\le C\|\nabla u\|$ から $u\in L^2_tL^6_x$（$2/2+3/6=3/2$）、また $u\in L^\infty_tL^2_x$（$0+3/2=3/2$）で、この 2 つを Hölder の不等式で補間して得られる組はすべて $2/p+3/q=3/2$ を満たします（$\frac1q=\frac\theta2+\frac{1-\theta}6$、$\frac1p=\frac{1-\theta}2$ から $\frac2p+\frac3q=(1-\theta)+\frac{3\theta}2+\frac{1-\theta}2=\frac32$）。エネルギーから出る評価は $3/2$、正則性に要るのは $1$ で、その差 $1/2$ が埋まっていません。

演習 10.2標準

$\mathbb{T}^2$ 上の $f=0$ の滑らかな解の渦度 $\omega$ について、偶数 $q\ge2$ に対し $\|\omega(t)\|_q\le\|\omega_0\|_q$ を示せ。$q\to\infty$ として $\sup|\omega(t)|\le\sup|\omega_0|$ を導け。

解答

定理 6.2 の証明のとおり $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$ です。$\omega^{q-1}$ を掛けて積分します。$\int\partial_t\omega\,\omega^{q-1}=\frac1q\frac{d}{dt}\int\omega^q$、$\int(u\cdot\nabla\omega)\omega^{q-1}=\frac1q\int u\cdot\nabla(\omega^q)=0$（$\operatorname{div}u=0$）、$\nu\int\Delta\omega\,\omega^{q-1}=-\nu(q-1)\int\omega^{q-2}|\nabla\omega|^2\le0$（$q$ が偶数なので $\omega^{q-2}\ge0$）です。よって $\frac{d}{dt}\int\omega^q\le0$ で、$\|\omega(t)\|_q\le\|\omega_0\|_q$。$\mathbb{T}^2$ の測度は $1$ なので $\|\omega_0\|_q\le\sup|\omega_0|$ で、連続関数について $\|\omega(t)\|_q\to\sup|\omega(t)|$（$q\to\infty$）なので $\sup|\omega(t)|\le\sup|\omega_0|$ です。3 次元では伸張項 $(\omega\cdot\nabla)u$ があるため、この計算は成り立ちません。

演習 10.3標準

次元解析で次を確かめよ。時刻 $T$ に向かって、速さ $U(t)$ の流れが半径 $\ell(t)\to0$ の球に集中するとし、$U\ell=\nu$（局所的な Reynolds 数が $1$）、$\ell=\sqrt{\nu(T-t)}$ とする。(1) $d=3$ では、集中部分のエネルギー $U^2\ell^3$ と散逸の時間積分 $\nu\int^T(U/\ell)^2\ell^3dt$ はどちらも有界で、エネルギー等式はこの筋書きを排除しない。(2) $d=2$ では、同じ筋書きは 定理 6.2 (ii) に反する。

解答

$U=\nu/\ell$ です。(1) $U^2\ell^3=\nu^2\ell\to0$。散逸は $\nu(U/\ell)^2\ell^3=\nu U^2\ell=\nu^3/\ell=\nu^{5/2}(T-t)^{-1/2}$ で、$\int^T(T-t)^{-1/2}dt\lt\infty$ です。したがって 命題 3.3 の 2 つの量はどちらも有界のままで、矛盾は生じません。なお $\|\nabla u\|^2\approx(U/\ell)^2\ell^3=\nu^2/\ell=\nu^{3/2}(T-t)^{-1/2}$ は、系 7.2 (i) が許す発散の速さ $\|\nabla u\|^2\sim(T-t)^{-1/2}$ とちょうど同じ次数です。(2) $d=2$ では集中部分の渦度の 2 乗積分が $(U/\ell)^2\ell^2=U^2=\nu^2/\ell^2\to\infty$ となりますが、$f=0$ なら $\|\omega(t)\|\le\|\omega_0\|$ なので起こりえません。2 次元ではエネルギーより強い保存量型の評価（渦度）があり、3 次元にはそれが無い、という違いです。

演習 10.4易

(A)〜(D) について次の真偽を理由つきで答えよ。(1) (A) の否定は (C) を導く。(2) (C) は (A) の否定を導く。(3) $f\equiv0$ は条件 (5) と (9) を満たす。

解答

(3) は真です。$0$ はどんな評価も満たします。(1) は真です。(A) の否定は「(4) を満たすある $u_0$ と $f\equiv0$ に対し (6)(7) を満たす解が無い」で、(3) により $f\equiv0$ は (5) を満たすので、これは (C) の主張そのものの特別な場合です。(2) は偽（導けるとは言えない）です。(C) が保証する外力は $0$ とは限らず、$f\ne0$ のデータで解が無いことから、$f\equiv0$ のデータについては何も結論できません（注意 2.4）。

参考文献

1. C. L. Fefferman, “Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation”, Clay Mathematics Institute の問題文（正誤表つき）。https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf（2026-10-08 に取得して条件 (4)〜(11) と (A)〜(D) を確認）。
2. J. Leray, “Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace”, Acta Mathematica 63 (1934), 193–248. doi:10.1007/BF02547354
3. E. Hopf, “Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen”, Mathematische Nachrichten 4 (1951), 213–231.
4. O. A. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, 2nd ed., Gordon and Breach, 1969 — 2 次元の一意性と大域解。
5. J. C. Robinson, J. L. Rodrigo, W. Sadowski, The Three-Dimensional Navier–Stokes Equations: Classical Theory, Cambridge University Press, 2016 — 弱解・強解・弱強一意性。
6. H. Fujita, T. Kato, “On the Navier–Stokes initial value problem. I”, Archive for Rational Mechanics and Analysis 16 (1964), 269–315.
7. R. Temam, Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, North-Holland（AMS Chelsea 版 2001） — Galerkin 近似による弱解の構成。