多次元トーラスの Parseval の等式

補題 4.1（「Navier–Stokes 方程式 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(e_k)_{k\in\mathbb{Z}^d}$ は $L^2(\mathbb{T}^d;\mathbb{C})$ の正規直交基底である。したがって $u,v\in L^2(\mathbb{T}^d)$ について $\int_{\mathbb{T}^d}u\bar v\,dx=\sum_k\hat u(k)\overline{\hat v(k)}$ 、 $\|u\|^2=\sum_k|\hat u(k)|^2$ であり、部分和 $\sum_{|k|\le N}\hat u(k)e_k$ は $L^2$ で $u$ に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 74 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
- Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
  - Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    平行移動の連続性✓補題 2.2・フーリエ級数この先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理証明で参照している 3 件

2 次元の一意性と大域的な先験評価（Ladyzhenskaya）✓定理 6.2・Navier–Stokes 方程式 I
弱強一意性✓定理 8.2・Navier–Stokes 方程式 I
命題 3.5✓Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部

多次元トーラスの Parseval の等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件