数学 › 関数解析と作用素論 › Hilbert 空間の基礎

正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）

定理 6.4（「Hilbert 空間の基礎」§6） ・ ✓公理まで証明済み

{eα}α∈A\{e_\alpha\}_{\alpha\in A} を Hilbert 空間 H\mathcal{H} の正規直交系とする。次は同値である。

  1. {eα}\{e_\alpha\} は正規直交基底である（極大）。
  2. {eα}⊥={0}\{e_\alpha\}^\perp = \{0\}。
  3. span{eα}\mathrm{span}\{e_\alpha\} は H\mathcal{H} で稠密である。
  4. 任意の x∈Hx\in\mathcal{H} について x=∑α∈A⟨eα,x⟩eαx = \sum_{\alpha\in A}\langle e_\alpha, x\rangle e_\alpha（係数が 00 でない高々可算個の項を任意の順に並べた級数がノルム収束する）。
  5. 任意の x∈Hx\in\mathcal{H} について ∥x∥2=∑α∈A∣⟨eα,x⟩∣2\|x\|^2 = \sum_{\alpha\in A}|\langle e_\alpha, x\rangle|^2（パーセバルの等式）。
  6. 任意の x,y∈Hx,y\in\mathcal{H} について ⟨x,y⟩=∑α∈A⟨eα,x⟩‾⟨eα,y⟩\langle x, y\rangle = \sum_{\alpha\in A}\overline{\langle e_\alpha, x\rangle}\langle e_\alpha, y\rangle。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 14 件