熱作用素の基本性質

命題 5.1（「熱核の漸近展開」§5）・ ✓公理まで証明済み

$T\gt0$ について定数 $C$ があり、 $0\lt t\le T$ で $\int_M|K_t(x,y)|d\mu(y)\le C$ 、 $\int_M|K_t(x,y)|d\mu(x)\le C$ 、 $\|\mathcal{T}_t\|\le C$ 。
各 $f\in L^2(E)$ について $t\mapsto\mathcal{T}_tf$ は $[0,\infty)$ から $L^2(E)$ への連続写像である。
（半群性） $K_{t+s}(x,y)=\int_MK_t(x,z)K_s(z,y)\,d\mu(z)$ 、すなわち $\mathcal{T}_{t+s}=\mathcal{T}_t\mathcal{T}_s$ 。
（対称性） $K_t(x,y)^*=K_t(y,x)$ 、すなわち $\mathcal{T}_t$ は自己共役である。
各 $x$ について $\int_M|K_t(x,y)|^2d\mu(y)=\operatorname{tr}K_{2t}(x,x)$ 。 $\mathcal{T}_t$ は Hilbert–Schmidt 作用素で、 $L^2(E)$ の正規直交基底 $(e_m)$ について $\sum_m\|\mathcal{T}_te_m\|^2=\int_M\int_M|K_t(x,y)|^2d\mu(y)\,d\mu(x)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 203 件、定義なども含めて 235 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開
- 誤差の評価✓補題 3.4・熱核の漸近展開
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開
  - 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開（上で展開済み）
近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- Friedrichs の補題✓補題 8.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
- Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
- 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
- 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
Hilbert–Schmidt 作用素定義 6.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

これを使っている定理証明で参照している 1 件

熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開

熱作用素の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件