数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Friedrichs の補題

補題 8.4（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§8） ・ ✓公理まで証明済み

Ω⊂Rn\Omega\subset\mathbb{R}^n を開集合、K⊂ΩK\subset\Omega をコンパクト集合、δ>0\delta\gt0 を Kδ={x:dist⁡(x,K)≤δ}⊂ΩK_\delta=\lbrace x : \operatorname{dist}(x,K)\le\delta\rbrace\subset\Omega となる数、AA を Ω\Omega 上の滑らかな r×rr\times r 行列値関数とする。定数 CC があって、0<ε<δ0\lt\varepsilon\lt\delta、supp⁡w⊂K\operatorname{supp}w\subset K なる w∈Cc∞(Rn;Cr)w\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n;\mathbb{C}^r)、i=1,…,ni=1,\dots,n について

∥A ∂i(ρε∗w)−ρε∗(A ∂iw)∥L2≤C∥w∥L2\bigl\|A\,\partial_i(\rho_\varepsilon*w)-\rho_\varepsilon*(A\,\partial_iw)\bigr\|_{L^2}\le C\|w\|_{L^2}

が成り立つ（左辺の関数は KεK_\varepsilon の外で 00 なので Rn\mathbb{R}^n 上の関数とみなす）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件