ルベーグの優収束定理

定理 7.3（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、 $f_n : X \to \overline{\mathbb{R}}$ （ $n\in\mathbb{N}$ ）を可測関数の列、 $f : X\to\overline{\mathbb{R}}$ を可測関数とし、次の 2 条件を仮定する。

（各点収束） $f_n \to f$ が $\mu$ -ほとんど至るところ成り立つ。
（可積分な優関数の存在）ある $g \in L^1(\mu)$ が存在して、各 $n$ に対し $|f_n| \le g$ が $\mu$ -ほとんど至るところ成り立つ。

このとき $f \in L^1(\mu)$ 、各 $f_n \in L^1(\mu)$ であり、

\lim_{n\to\infty}\int_X |f_n - f|\,d\mu = 0, \qquad \text{したがって} \qquad \lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu = \int_X f\,d\mu

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
$L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

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時間平均の概収束✓定理 3.2・Markov 連鎖 Monte Carlo
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有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束
積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
$C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
確率測度の無限直積✓定理 6.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Laplace の方法（複素位相）✓定理 4.2・漸近解析
Poisson の積分表示✓定理 3.4・Bessel・Airy・Whittaker 関数
Kummer の関数の積分表示✓定理 5.3・Bessel・Airy・Whittaker 関数
K を Fourier 変換で書く✓補題 7.5・Bessel・Airy・Whittaker 関数
共分散の性質（原論文の (V.A.1)–(V.A.2)）✓補題 2.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
有限次元の Gauss 期待値の共分散についての微分✓補題 4.8・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
無限体積の赤外評価✓命題 2.9・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
感受率の微分の公式と極限の交換✓補題 5.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
2 点関数の Fourier 変換（原論文の式 (5.8)〜(5.10)）✓補題 5.2・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
感受率の微分の公式（GS 場）✓補題 5.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)
感受率の微分の下界（原論文 (3.4)・(4.2)）✓定理 5.4・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)

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