一次式の対数の円周平均

補題 7.1（「Jensen の公式と劣調和関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$a\in\mathbb{C}$ 、 $R>0$ に対して

\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|Re^{i\theta}-a\bigr|\,d\theta=\log\max\{R,|a|\}

である。（積分は $|a|=R$ のとき $\theta$ の 1 点で $-\infty$ をとるが、可積分である。）

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数
- 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
- 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Jensen の公式✓定理 7.2・Jensen の公式と劣調和関数
多項式の円周上の対数平均✓定理 9.5・Jensen の公式と劣調和関数
有理型関数の Jensen の公式✓定理 9.9・Jensen の公式と劣調和関数
円周上の対数積分✓補題 6.1・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

一次式の対数の円周平均

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件