Jensen の公式

定理 7.2（「Jensen の公式と劣調和関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を、閉円板 $\overline{D}(0,R)$ を含む円板 $D(0,R')$ （ $R'>R$ ）上の正則関数で、恒等的には $0$ でないものとする。 $f$ の原点でのテイラー展開を $f(z)=cz^m+(\text{高次})$ （ $c\ne0$ ）とし、 $\overline{D}(0,R)\setminus\{0\}$ にある $f$ の零点を、位数の分だけ重複させて $a_1,\dots,a_N$ とする。このとき

\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|f(Re^{i\theta})\bigr|\,d\theta=\log|c|+m\log R+\sum_{k=1}^{N}\log\frac{R}{|a_k|}

である。とくに $f(0)\ne0$ なら $m=0$ 、 $c=f(0)$ で、右辺は $\log|f(0)|+\sum_k\log(R/|a_k|)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 62 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
零点の位数定義 7.1・正則関数の強力な性質
零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数
- 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
- 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
一次式の対数の円周平均✓補題 7.1・Jensen の公式と劣調和関数
- 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数（上で展開済み）
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Jensen の不等式✓系 7.3・Jensen の公式と劣調和関数
零点の個数の評価✓系 9.1・Jensen の公式と劣調和関数
有界正則関数の零点の Blaschke 条件✓系 9.3・Jensen の公式と劣調和関数
零点の近くでの対数微分（Landau の補題）✓補題 7.8・リーマン予想とは何か

Jensen の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件