零点の近くでの対数微分（Landau の補題）

補題 7.8（「リーマン予想とは何か」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を閉円板 $|z-z_0|\le\frac52$ を含む開集合で正則とし、 $f(z_0)\ne0$ 、 $M\ge1$ について円板上で $|f(z)|\le e^M|f(z_0)|$ とする。 $Z$ を $|\rho-z_0|\le2$ にある $f$ の零点の多重集合とすると、(a) $\#Z\le M/\log\frac54$ 、(b) $|z-z_0|\le\frac74$ で $f(z)\ne0$ なら $\Bigl|\dfrac{f'(z)}{f(z)}-\displaystyle\sum_{\rho\in Z}\frac1{z-\rho}\Bigr|\le470M$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 110 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Jensen の公式✓定理 7.2・Jensen の公式と劣調和関数
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 零点の位数定義 7.1・正則関数の強力な性質
- 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数
  - 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 一次式の対数の円周平均✓補題 7.1・Jensen の公式と劣調和関数
  - 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- 絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 導関数が消えれば定数✓命題 5.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
Borel–Carathéodory 型の評価✓補題 7.7・リーマン予想とは何か
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

ゼータ関数の零点の局所的な個数✓補題 7.9・リーマン予想とは何か

零点の近くでの対数微分（Landau の補題）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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