ゼータ関数の零点の局所的な個数

補題 7.9（「リーマン予想とは何か」§7）・ ✓公理まで証明済み

$|t|\ge5$ とし、 $Z(t)$ を $|\rho-(2+it)|\le2$ にある $\zeta$ の零点の多重集合とする。 $\#Z(t)\le18\log|t|$ で、 $|s-(2+it)|\le\frac74$ かつ $\zeta(s)\ne0$ なら

\Bigl|\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}-\sum_{\rho\in Z(t)}\frac1{s-\rho}\Bigr|\le1900\log|t| .

とくに、零点 $\rho=\beta+i\gamma$ で $\beta\ge\frac12$ 、 $|\gamma-t|\le1$ を満たすものはすべて $Z(t)$ に属する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 152 件、定義なども含めて 181 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ✓補題 7.6・リーマン予想とは何か
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- リーマンの関数等式✓定理 4.5・リーマン予想とは何か
  - ζ 関数の解析接続と関数等式✓定理 7.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - Legendre の倍数公式✓補題 2.1・Bessel・Airy・Whittaker 関数この先をたどる →
  - 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
零点の近くでの対数微分（Landau の補題）✓補題 7.8・リーマン予想とは何か
- Jensen の公式✓定理 7.2・Jensen の公式と劣調和関数
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - 零点の位数定義 7.1・正則関数の強力な性質
  - 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数この先をたどる →
  - 一次式の対数の円周平均✓補題 7.1・Jensen の公式と劣調和関数この先をたどる →
- 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - 絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- Borel–Carathéodory 型の評価✓補題 7.7・リーマン予想とは何か
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
右半平面での非零性✓系 3.2・リーマン予想とは何か
- ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

高さ 1 の帯にある零点の個数✓補題 5.1・リーマン予想 I
Riemann–von Mangoldt の個数公式✓定理 5.2・リーマン予想 I
古典的零点なし領域（de la Vallée Poussin）✓定理 6.3・リーマン予想 I
打ち切った明示公式✓補題 7.1・リーマン予想 I
リーマン予想の下での ψ の誤差✓補題 7.11・リーマン予想とは何か

ゼータ関数の零点の局所的な個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件