臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ

補題 7.6（「リーマン予想とは何か」§7）・ ✓公理まで証明済み

$P_2(x)=\frac12(\{x\}^2-\{x\})$ （ $\{x\}$ は小数部分）とおく。 $\sigma\gt-1$ 、 $s\ne1$ で

\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-\frac12-s(s+1)\int_1^\infty P_2(x)\,x^{-s-2}\,dx

が成り立つ。とくに $-\frac12\le\sigma\le3$ 、 $|t|\ge2$ で $|\zeta(s)|\le3|t|^2$ 、 $\sigma\ge2$ で $|\zeta(s)|\le2$ 、また $|\zeta(2+it)|\ge c_0:=1-\sum_{n\ge2}n^{-2}\gt0.3$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
リーマンの関数等式✓定理 4.5・リーマン予想とは何か
- ζ 関数の解析接続と関数等式✓定理 7.4・整関数とガンマ関数
  - テータ関数の変換則✓定理 7.3・整関数とガンマ関数
    ガウス関数の Fourier 変換✓補題 7.1・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    Fourier 係数が絶対収束する連続周期関数✓補題 7.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
- ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
- 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数
  - 素因子の評価✓補題 4.2・整関数とガンマ関数
  - 正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数
    Log(1+w) の評価✓補題 3.1・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束この先をたどる →
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
  - Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
- Legendre の倍数公式✓補題 2.1・Bessel・Airy・Whittaker 関数
  - 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
- 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
  - sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数
    正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
    cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →
一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Ξ の積分表示✓補題 5.4・リーマン予想 II
リーマン予想の下での 1/ζ の大きさ✓補題 7.3・リーマン予想 II
ξ の増大度✓定理 3.1・リーマン予想 I
ゼータ関数の零点の局所的な個数✓補題 7.9・リーマン予想とは何か
誤差の評価から零点のない領域へ✓補題 7.12・リーマン予想とは何か

臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件