正則関数の無限積

命題 3.2（「整関数とガンマ関数」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を開集合、 $a_n$ を $\Omega$ 上の正則関数とし、任意のコンパクト集合 $K\subset\Omega$ に対して $\sum_n\sup_K|a_n|<\infty$ とする。このとき部分積 $P_N=\prod_{n=1}^{N}(1+a_n)$ は $\Omega$ 上で局所一様収束し、極限 $P$ は正則である。 $P(z)=0$ となるのは、ある $n$ で $1+a_n(z)=0$ のとき、かつそのときに限る。さらに $P(z)\ne0$ の点で

\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n'(z)}{1+a_n(z)}

で、右辺は局所一様収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Log(1+w) の評価✓補題 3.1・整関数とガンマ関数
- 対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 極座標のコーシー・リーマンの関係式✓補題 6.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質

これを使っている定理証明で参照している 5 件

零点の指定（Weierstrass）✓定理 4.3・整関数とガンマ関数
sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数
1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数
Daubechies のウェーブレット✓定理 5.2・標本化定理とウェーブレット
位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解✓補題 4.2・リーマン予想 I

正則関数の無限積

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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