位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解

補題 4.2（「リーマン予想 I」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を $\operatorname{ord}f\le1$ 、 $f(0)\ne0$ の整関数とし、その零点を重複込みで $\rho_1,\rho_2,\dots$ （有限個でも、無くてもよい）とする。このとき複素数 $A,B$ が存在して

f(z)=e^{A+Bz}\prod_{n}\Bigl(1-\frac z{\rho_n}\Bigr)e^{z/\rho_n}

が成り立つ。積は $\mathbb{C}$ 上で局所一様に収束する。また $f(z)\ne0$ の点で

\frac{f'(z)}{f(z)}=B+\sum_n\Bigl(\frac1{z-\rho_n}+\frac1{\rho_n}\Bigr)

であり、右辺は零点を除いた集合の上で局所一様に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 106 件、定義なども含めて 131 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

素因子定義 4.1・整関数とガンマ関数
素因子の評価✓補題 4.2・整関数とガンマ関数
位数 1 の整関数の零点の個数✓補題 4.1・リーマン予想 I
- 零点の個数の評価✓系 9.1・Jensen の公式と劣調和関数
  - Jensen の公式✓定理 7.2・Jensen の公式と劣調和関数この先をたどる →
正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数
- Log(1+w) の評価✓補題 3.1・整関数とガンマ関数
  - 対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    極座標のコーシー・リーマンの関係式✓補題 6.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- 絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 導関数が消えれば定数✓命題 5.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
Borel–Carathéodory 型の評価✓補題 7.7・リーマン予想とは何か
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）

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ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開✓定理 4.3・リーマン予想 I

位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解

閉包の状態

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