数学 › 未解決問題と大定理 › リーマン予想 I

ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開

定理 4.3（「リーマン予想 I」§4） ・ ✓公理まで証明済み

ξ\xi の零点は ζ\zeta の非自明零点と位数を込めて一致する。ρ\rho が非自明零点全体を重複込みで走るとき、∑ρ∣ρ∣−1−ε<∞\sum_\rho|\rho|^{-1-\varepsilon}\lt\infty（任意の ε>0\varepsilon\gt0）であり、複素数 BB が存在して

ξ(s)=12 eBs∏ρ(1−sρ)es/ρ\xi(s)=\frac12\,e^{Bs}\prod_\rho\Bigl(1-\frac s\rho\Bigr)e^{s/\rho}

が成り立つ（積は局所一様に絶対収束する）。さらに、s≠1s\ne1 が ζ\zeta の零点でも極でもなく、s∉{−2,−4,… }s\notin\{-2,-4,\dots\} のとき

ζ′(s)ζ(s)=B−1s−1+12log⁡π−12 Γ′Γ(s2+1)+∑ρ(1s−ρ+1ρ)\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=B-\frac1{s-1}+\frac12\log\pi-\frac12\,\frac{\Gamma'}{\Gamma}\Bigl(\frac s2+1\Bigr)+\sum_\rho\Bigl(\frac1{s-\rho}+\frac1\rho\Bigr)

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 157 件、定義なども含めて 190 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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