Riemann–von Mangoldt の個数公式

定理 5.2（「リーマン予想 I」§5）・ ✓公理まで証明済み

定数 $C_2$ が存在して、 $T\ge5$ で

\Bigl|N(T)-\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}+\frac T{2\pi}\Bigr|\le C_2\log T

が成り立つ。より詳しく、 $T\ge5$ がどの零点の虚部とも異なるとき、 $L_T$ を $2$ から $2+iT$ を経て $\frac12+iT$ に至る折れ線として $S(T):=\dfrac1\pi\operatorname{Im}\displaystyle\int_{L_T}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\,ds$ とおくと

N(T)=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}+\frac78+S(T)-\frac{N_0}2+E(T),\qquad|E(T)|\le\frac2T,\quad|S(T)|\le C_3\log T

である。ここで $N_0$ は実軸上にある非自明零点の個数（有限）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 174 件、定義なども含めて 209 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
- コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
  - 単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
高さ 1 の帯にある零点の個数✓補題 5.1・リーマン予想 I
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開✓定理 4.3・リーマン予想 I（上で展開済み）
- ゼータ関数の零点の局所的な個数✓補題 7.9・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開✓定理 4.3・リーマン予想 I
- 完備ゼータ関数定義 2.1・リーマン予想 I
- 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- 右半平面での非零性✓系 3.2・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- ξ の増大度✓定理 3.1・リーマン予想 I この先をたどる →
- 位数 1 の整関数の零点の個数✓補題 4.1・リーマン予想 I この先をたどる →
- 位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解✓補題 4.2・リーマン予想 I この先をたどる →
Stirling の公式（複素扇形・誤差つき）✓定理 7.4・漸近解析
- Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- Euler–Maclaurin の公式✓定理 7.2・漸近解析この先をたどる →
- Stirling の公式（実軸）✓定理 6.6・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
チェビシェフ関数の評価と対数微分✓補題 7.5・リーマン予想とは何か
- チェビシェフ型の評価✓命題 5.3・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
- 右半平面での非零性✓系 3.2・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
ゼータ関数の零点の局所的な個数✓補題 7.9・リーマン予想とは何か
- 臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ✓補題 7.6・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- 零点の近くでの対数微分（Landau の補題）✓補題 7.8・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- 右半平面での非零性✓系 3.2・リーマン予想とは何かこの先をたどる →

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