3-4-1 の不等式

補題 6.1（「リーマン予想 I」§6）・ ✓公理まで証明済み

すべての実数 $\theta$ について $3+4\cos\theta+\cos2\theta=2(1+\cos\theta)^2\ge0$ である。したがって $\sigma\gt1$ 、 $t\in\mathbb{R}$ について

\zeta(\sigma)^3\,|\zeta(\sigma+it)|^4\,|\zeta(\sigma+2it)|\ge1,\qquad 3\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma)\Bigr)+4\operatorname{Re}\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+it)\Bigr)+\operatorname{Re}\Bigl(-\frac{\zeta'}{\zeta}(\sigma+2it)\Bigr)\ge0

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 175 件、定義なども含めて 210 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

チェビシェフ関数の評価と対数微分✓補題 7.5・リーマン予想とは何か
- チェビシェフ型の評価✓命題 5.3・素数の魅力と素数定理
  - 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理（上で展開済み）
- 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理
  - 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
    数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術この先をたどる →
  - 素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
  - ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 右半平面での非零性✓系 3.2・リーマン予想とは何か
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定（上で展開済み）
Riemann–von Mangoldt の個数公式✓定理 5.2・リーマン予想 I
- 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
- 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
  - コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
- 高さ 1 の帯にある零点の個数✓補題 5.1・リーマン予想 I
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開✓定理 4.3・リーマン予想 I（上で展開済み）
  - ゼータ関数の零点の局所的な個数✓補題 7.9・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
- ξ の Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開✓定理 4.3・リーマン予想 I
  - 完備ゼータ関数定義 2.1・リーマン予想 I
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - ゼータ関数の有理型接続と単純極✓定理 4.3・リーマン予想とは何かこの先をたどる →
  - 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - 右半平面での非零性✓系 3.2・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
  - ξ の増大度✓定理 3.1・リーマン予想 I この先をたどる →
  - 位数 1 の整関数の零点の個数✓補題 4.1・リーマン予想 I この先をたどる →
  - 位数 1 の整関数の Hadamard 因数分解✓補題 4.2・リーマン予想 I この先をたどる →
- Stirling の公式（複素扇形・誤差つき）✓定理 7.4・漸近解析この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
- チェビシェフ関数の評価と対数微分✓補題 7.5・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
- ゼータ関数の零点の局所的な個数✓補題 7.9・リーマン予想とは何かこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

直線 Re s = 1 上に零点はない✓定理 6.2・リーマン予想 I
古典的零点なし領域（de la Vallée Poussin）✓定理 6.3・リーマン予想 I

3-4-1 の不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件