Stirling の公式（複素扇形・誤差つき）

定理 7.4（「漸近解析」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 上の正則関数 $\operatorname{Log}\Gamma$ で、 $e^{\operatorname{Log}\Gamma(z)}=\Gamma(z)$ かつ正の実軸上で実数値のものが存在し、任意の $p\ge1$ について

\operatorname{Log}\Gamma(z)=\Bigl(z-\frac12\Bigr)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln2\pi+\sum_{j=1}^{p}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)z^{2j-1}}+R_p(z),\qquad R_p(z)=-\int_0^\infty\frac{\tilde B_{2p}(t)}{2p\,(z+t)^{2p}}dt

が成り立つ。さらに $0\lt\delta\le\pi$ 、 $|\arg z|\le\pi-\delta$ のとき、 $M_{2p}=\max|\tilde B_{2p}|$ として

|R_p(z)|\le\frac{M_{2p}}{2p(2p-1)\sin^{2p}(\delta/2)}\cdot\frac1{|z|^{2p-1}} .

とくに $p=1$ では $\operatorname{Log}\Gamma(z)=(z-\frac12)\operatorname{Log}z-z+\frac12\ln2\pi+\frac1{12z}+R_1(z)$ 、 $|R_1(z)|\le\dfrac{1}{12\sin^2(\delta/2)|z|}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 92 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
Euler–Maclaurin の公式✓定理 7.2・漸近解析
- Bernoulli 多項式✓補題 7.1・漸近解析
Stirling の公式（実軸）✓定理 6.6・整関数とガンマ関数
- Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
- sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数
  - 正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数
    Log(1+w) の評価✓補題 3.1・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束この先をたどる →
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
  - cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数
    留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用この先をたどる →
ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Riemann–von Mangoldt の個数公式✓定理 5.2・リーマン予想 I
縦の直線上での Γ の減衰✓系 7.5・漸近解析

Stirling の公式（複素扇形・誤差つき）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件