数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理

L1L^1 の線型性と三角不等式

命題 7.2（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

(X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu) を測度空間とする。

  1. f,g∈L1(μ)f, g \in L^1(\mu)、α,β∈R\alpha,\beta\in\mathbb{R} ならば αf+βg∈L1(μ)\alpha f + \beta g \in L^1(\mu) であり
∫X(αf+βg) dμ=α∫Xf dμ+β∫Xg dμ.\int_X (\alpha f + \beta g)\,d\mu = \alpha\int_X f\,d\mu + \beta \int_X g\,d\mu.

（f,gf, g が ±∞\pm\infty を取る点があっても、命題 6.4 の 3 よりそれは零集合上なので、そこで値を 00 に置き換えて考えてよい。） 2. f∈L1(μ)f \in L^1(\mu) ならば ∣∫Xf dμ∣≤∫X∣f∣ dμ\left|\int_X f\,d\mu\right| \le \int_X |f|\,d\mu。 3. f∈L1(μ)f \in L^1(\mu)、gg 可測、∣g∣≤∣f∣|g| \le |f| a.e. ならば g∈L1(μ)g \in L^1(\mu)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件