単関数の積分の基本性質

$s, t : X \to [0,\infty)$ を非負単関数、$c \ge 0$ を定数とする。

1. （表示によらないこと）$A_1, \ldots, A_N \in \mathcal{M}$ が互いに交わらず $\bigcup_k A_k = X$ を満たし、$b_1,\ldots,b_N \ge 0$ が（相異なるとは限らず）$s = \sum_{k=1}^N b_k \mathbf{1}_{A_k}$ を満たすならば、$\int_X s\,d\mu = \sum_{k=1}^{N} b_k \mu(A_k)$ である。
2. （加法性と正斉次性）$\int_X (s+t)\,d\mu = \int_X s\,d\mu + \int_X t \,d\mu$ および $\int_X cs\,d\mu = c\int_X s\,d\mu$。
3. （単調性）$s \le t$ ならば $\int_X s\,d\mu \le \int_X t\,d\mu$。