可測性の同値な言い換え

$f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ について、次の 4 条件は同値である。

1. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f > a\} \in \mathcal{M}$。
2. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f \ge a\} \in \mathcal{M}$。
3. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f < a\} \in \mathcal{M}$。
4. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f \le a\} \in \mathcal{M}$。

さらにこのとき $\{f = \infty\}$、$\{f = -\infty\}$、および任意の $a < b$ に対する $\{a \le f < b\}$ も可測である。