数学 › 解析学（実解析） › 実数の完備性とコーシー列

有理数の稠密性

定理 5.2（「実数の完備性とコーシー列」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列

  • 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  • 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
• 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列

  • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
  • 整列性公理 3.1・証明の技術

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 連続な加法的関数は線形✓命題 2.4・古典的な不等式と関数方程式
• 無理数の稠密性✓系 5.3・実数の完備性とコーシー列
• 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 区間・開集合・ボレル集合の可測性✓定理 5.1・可測集合とルベーグ測度
• 有理数と無理数は 0 次元だが離散でない✓命題 3.5・次元論の入口