数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理

零集合は積分に影響しない

命題 6.4（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とする。

$f : X \to [0,\infty]$ が可測のとき、 $\displaystyle\int_X f\,d\mu = 0$ であることと $f = 0$ a.e. であることは同値である。
$f, g : X \to [0,\infty]$ が可測で $f = g$ a.e. ならば $\displaystyle\int_X f\,d\mu = \int_X g\,d\mu$ 。
$f : X \to [0,\infty]$ が可測で $\displaystyle\int_X f\,d\mu < \infty$ ならば $f < \infty$ a.e. である。
可算個の零集合の和集合は零集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 6 件

$L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
リーマン可積分性のルベーグの判定条件✓定理 8.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

関連するノック 5 問