数学 › 数値解析の基礎 › 数値積分 I

Gauss 求積の収束

系 6.2（「数値積分 I」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 57 件、定義なども含めて 67 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• Gauss 求積の誤差公式✓定理 6.1・数値積分 I

  • Hermite 補間の存在・一意性と誤差✓定理 4.2・多項式補間

    • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質

      • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
    • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理

      • 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
      • 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
      • フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • 零点の個数✓系 2.3・多項式補間（上で展開済み）
    • Rolle の定理の繰り返し✓補題 3.4・多項式補間

      • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
  • 零点の個数✓系 2.3・多項式補間

    • 補間多項式の存在と一意性✓定理 2.2・多項式補間

      • Vandermonde 行列式✓補題 2.1・多項式補間 この先をたどる →
      • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  • 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理

    • 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    • 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性 この先をたどる →
    • 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性 この先をたどる →
  • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性

    • 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
• Pólya–Steklov の定理✓定理 5.2・数値積分 I

  • Weierstrass の多項式近似定理✓系 4.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  • 点評価の線形結合のノルム✓補題 5.1・数値積分 I
  • 一様有界性原理（Banach–Steinhaus）✓定理 5.1・Banach 空間の基本定理

    • Baire のカテゴリー定理✓定理 4.1・Banach 空間の基本定理
• Gauss 求積✓定理 6.1・直交多項式

  • Christoffel–Darboux の公式✓定理 4.1・直交多項式

    • 三項漸化式✓定理 3.1・直交多項式

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 2 問

• 数値解析の基礎 第 41 問
• 数値解析の基礎 第 45 問