数学 › 数値解析の基礎 › 数値積分 I

Pólya–Steklov の定理

定理 5.2（「数値積分 I」§5）・ ✓公理まで証明済み

$L$ を $C[a,b]$ 上の線形汎関数で、ある定数 $C$ について $|L(f)| \le C\|f\|$ を満たすものとする（たとえば $L(f) = \int_a^b f(x)\,dx$ ）。求積則の列 $Q_n$ について、次は同値である。

すべての $f \in C[a,b]$ について $Q_n(f) \to L(f)$ 。
(i) すべての多項式 $p$ について $Q_n(p) \to L(p)$ 、かつ (ii) $\sup_n \sum_i |w_{n,i}| \lt \infty$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Weierstrass の多項式近似定理✓系 4.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    ディニの定理✓定理 4.3・関数列と一様収束この先をたどる →
点評価の線形結合のノルム✓補題 5.1・数値積分 I
一様有界性原理（Banach–Steinhaus）✓定理 5.1・Banach 空間の基本定理
- Baire のカテゴリー定理✓定理 4.1・Banach 空間の基本定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Gauss 求積の収束✓系 6.2・数値積分 I

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