数学 › 解析学（実解析） › 関数列と一様収束

ディニの定理

定理 4.3（「関数列と一様収束」§4） ・ ✓公理まで証明済み

K⊆RK \subseteq \mathbb{R} を空でない有界閉集合とし、fn ⁣:K→Rf_n \colon K \to \mathbb{R}（n∈Nn \in \mathbb{N}）と f ⁣:K→Rf \colon K \to \mathbb{R} について次を仮定する。

  1. すべての nn について fnf_n は KK 上連続であり、ff も KK 上連続である。
  2. (fn)(f_n) は KK 上 ff に各点収束する。
  3. すべての x∈Kx \in K とすべての nn について fn+1(x)≤fn(x)f_{n+1}(x) \le f_n(x)（nn について単調減少）である。

このとき (fn)(f_n) は KK 上 ff に一様収束する。（fn+1≥fnf_{n+1} \ge f_n と単調増加を仮定した場合も、−fn-f_n に適用すれば同じ結論を得る。）

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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