Gauss 求積

$x_1\lt \dots\lt x_n$ を $P_n$ の零点とし、$\ell_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ を Lagrange の補間基底、$w_i=\int\ell_i\,d\mu$ とする。

1. 任意の $p\in\mathbb{R}[x]_{2n-1}$ について $\int p\,d\mu=\sum_{i=1}^nw_ip(x_i)$。
2. $w_i=\int\ell_i^2\,d\mu>0$ であり、$w_i=1\big/\sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_k(x_i)^2}{h_k}$。
3. $n$ 点の求積公式（節点・重みは任意）で、$\mathbb{R}[x]_{2n}$ の全ての多項式に対して厳密なものは存在しない。