直交多項式：三項漸化式・Christoffel–Darboux・零点の交互性・Gauss 求積と古典直交多項式

0. この記事の要点

多項式 $1,x,x^2,\dots$ を、互いに「直角」な（内積が $0$ になる）多項式の列に作り直す話です。作り直した列は、どんな重みを選んでも同じ形の漸化式に従い、その零点は数値積分の最も効率のよい節点になります。読み終えると、この漸化式と零点の性質を自分で導き、Hermite・Legendre など名前のついた多項式を一つの枠組みで扱えるようになります。

• 実数直線上の（有限個の点に集中しない）測度 $\mu$ に対し、$\langle p,q\rangle=\int pq\,d\mu$ で Gram–Schmidt を $1,x,x^2,\dots$ に施すと、直交多項式 $P_n$ が一意に定まります。
• 直交多項式は必ず三項漸化式 $xP_n=P_{n+1}+\alpha_nP_n+\beta_nP_{n-1}$ に従います。直交性だけからこの形が出ます。
• 漸化式を畳み込むと Christoffel–Darboux 公式が得られ、これから $P_n$ の零点が実で単純なこと、$P_n$ と $P_{n+1}$ の零点が交互に並ぶことが従います。
• $P_n$ の零点を節点とする Gauss 求積は、$n$ 点で $2n-1$ 次の多項式まで厳密です。重みは全て正で、節点と重みはヤコビ行列（対角線とその両隣にだけ成分のある行列。三重対角行列）の固有値と固有ベクトルから求まります。
• Hermite・Laguerre・Legendre・Jacobi の各多項式は、重みが Pearson 型の微分方程式を満たすという共通の構造をもち、Rodrigues の公式の一つの証明で直交性・ノルム・微分方程式がまとめて得られます。

この記事で使う事前知識

• 内積とグラム・シュミットの直交化: ベクトルの組から、互いに直交するベクトルの組を順に作る手続き。→ 内積空間とグラム・シュミット直交化
• 定積分: 関数のグラフと軸の間の面積を測る量。部分積分もここで使います。→ 積分の基本定理と定積分
• 固有値と固有ベクトル: 行列 $A$ に対し $Av=\lambda v$ を満たす数 $\lambda$ とベクトル $v$。→ 固有値と固有ベクトル
• 零点の重複度: 多項式が $(x-a)^m$ で割り切れる最大の $m$ を、零点 $a$ の重複度といいます。$1$ のとき単純零点です。
• 連続性と中間値の定理: 連続関数が符号を変えれば、その間に零点がある、という性質。→ 連続性

1. 動機

多項式で関数を近似する基本の道具は Taylor 展開ですが、「区間全体でほどよく近い」近似には向きません。区間 $[-1,1]$ 上で最小二乗の意味で最もよい多項式近似を作ろうとすると、単項式 $1,x,x^2,\dots$ ではなく、互いに直交する多項式の列を基底に取るのが自然です。 直交多項式は応用上も至るところに現れます。調和振動子の固有関数には Hermite 多項式が、水素原子の動径部分には Laguerre 多項式が、中心力場の角度部分には Legendre 多項式が現れます。数値積分では、$n$ 点で $2n-1$ 次まで厳密な Gauss 求積の節点が直交多項式の零点です。

この記事は、特殊関数と漸近解析のテーマの最初の章です。テーマ全体の流れは次のとおりです。

• この章: 一般の測度に対する直交多項式の理論と、古典的な四つの族。
• 次の章: 球面上の調和関数（球面調和関数）。そこでは Legendre 多項式が主役になり、加法定理と平面波の部分波展開が証明されます。
• 続く章: Bessel・Airy・Whittaker 関数と、特殊関数の漸近評価、漸近解析の一般的な手法、WKB 近似。

2. 直交多項式の存在と一意性

次の定義の測度 $\mu$ は、「積分でどこをどれだけ重く数えるか」を決めるものです。たとえば $d\mu=dx$ なら普通の積分、$d\mu=e^{-x^2}dx$ なら原点付近を重く数える積分になります。測度論の細部は使わず、積分 $\int f\,d\mu$ が普通の積分のように計算できると思って読めば十分です。条件 (ii)（有限個の点に集中しない）は、内積が 0 になる零でない多項式が出てしまわないための条件で、定義のすぐ後に理由を説明します。

定義 2.1（測度と内積）↗

$\mu$ を $\mathbb{R}$ 上の正の Borel 測度で、次を満たすものとする。(i) すべての $k\ge0$ について $\int|x|^kd\mu\lt \infty$。(ii) $\mu$ は有限個の点に集中しない（すなわち、任意の有限集合 $F$ について $\mu(\mathbb{R}\setminus F)>0$）。$\mu$ の台（$\mu$ がほぼ全て集中する最小の閉集合）の凸包の内部を $I_\mu$ と書く。実係数多項式 $p,q$ に対し

$$\langle p,q\rangle=\int p(x)q(x)\,d\mu(x),\qquad h(p)=\langle p,p\rangle$$

とおく。$\mathbb{R}[x]_k$ で次数が $k$ 以下の実多項式全体を表す。

(ii) により、零でない多項式 $p$ については $p^2>0$ が有限個の点を除いて成り立つので $\langle p,p\rangle>0$ です。したがって $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は $\mathbb{R}[x]$ 上の内積になります。

定理 2.2（直交多項式の存在と一意性）✓

最高次の係数が $1$ の多項式の列 $(P_n)_{n\ge0}$ で、$\deg P_n=n$ かつ $P_n\perp\mathbb{R}[x]_{n-1}$ を満たすものがただ一つ存在する。$h_n=\langle P_n,P_n\rangle>0$ とおく。

証明（定理 2.2）

$1,x,x^2,\dots$ に Gram–Schmidt の直交化（定理 6.1［内積空間とグラム・シュミット直交化］）を施せば、$P_n=x^n-\sum_{k\lt n}\frac{\langle x^n,P_k\rangle}{h_k}P_k$ として、互いに直交して $\deg P_n=n$、最高次の係数 $1$ のものが得られます。一意性: 別の列 $(Q_n)$ があるとき、$P_n-Q_n$ は次数が $n$ 未満で $\mathbb{R}[x]_{n-1}$ に直交するので、自分自身と直交して $0$ です。

∎

$P_n$ は $1,x,\dots,x^{n-1}$ の張る空間（$=\mathbb{R}[x]_{n-1}$）の直交補空間における $x^n$ 方向の元です。$P_0,\dots,P_n$ は $\mathbb{R}[x]_n$ の直交基底なので、$p\in\mathbb{R}[x]_n$ は $p=\sum_{k\le n}\frac{\langle p,P_k\rangle}{h_k}P_k$ と展開できます。

例 2.3（区間 [−1,1] 上の一様測度）

$d\mu=dx$ とすると、$P_0=1$、$P_1=x$、$P_2=x^2-\frac13$ です。実際 $\langle x^2,1\rangle=\frac23$、$\langle1,1\rangle=2$ なので $P_2=x^2-\frac{2/3}{2}=x^2-\frac13$ です。後で見るように、これは Legendre 多項式の最高次係数を $1$ にそろえたものです。

3. 三項漸化式

定理 3.1（三項漸化式）✓

$n\ge0$ について

$$xP_n(x)=P_{n+1}(x)+\alpha_nP_n(x)+\beta_nP_{n-1}(x)\qquad(P_{-1}=0,\ \beta_0=0)$$

が成り立つ。ここで $\alpha_n=\dfrac{\langle xP_n,P_n\rangle}{h_n}\in\mathbb{R}$、$\beta_n=\dfrac{h_n}{h_{n-1}}>0$（$n\ge1$）である。

証明（定理 3.1）

$xP_n-P_{n+1}$ は次数が $n$ 以下なので、$P_0,\dots,P_n$ で展開できます。係数は $\frac{\langle xP_n-P_{n+1},P_k\rangle}{h_k}=\frac{\langle xP_n,P_k\rangle}{h_k}=\frac{\langle P_n,xP_k\rangle}{h_k}$ で、ここで内積が $x$ の掛け算について対称であること（$\int xP_nP_k\,d\mu$ の対称性）を使いました。$k\le n-2$ なら $xP_k$ の次数は $n-1$ 以下なので $\langle P_n,xP_k\rangle=0$ です。$k=n$ の係数が $\alpha_n$ です。$k=n-1$ では、$xP_{n-1}=P_n+(\text{次数}\le n-1)$ より $\langle P_n,xP_{n-1}\rangle=h_n$ なので、係数は $h_n/h_{n-1}=\beta_n$ です。

∎

この形が成り立つのは、掛け算 $x$ が内積について対称であるという一点によります。逆に $\beta_n>0$ の三項漸化式で作った多項式列は、ある測度の直交多項式になります（Favard の定理。ここでは使わないので証明は省きます）。

ヒント

$P_n$ の対称性: 測度が偶（$\mu(A)=\mu(-A)$）なら $P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)$ で、$\alpha_n=0$ になります。$\langle xP_n,P_n\rangle=\int xP_n^2d\mu$ は奇関数の積分だからです。

4. Christoffel–Darboux の公式

定理 4.1（Christoffel–Darboux の公式）✓

$n\ge0$ と実数 $x\neq y$ について

$$\sum_{k=0}^n\frac{P_k(x)P_k(y)}{h_k}=\frac1{h_n}\cdot\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_n(x)P_{n+1}(y)}{x-y}.$$

また

$$\sum_{k=0}^n\frac{P_k(x)^2}{h_k}=\frac1{h_n}\bigl(P_{n+1}'(x)P_n(x)-P_n'(x)P_{n+1}(x)\bigr)>0.$$

証明（定理 4.1）

定理 3.1 を $x$ で書いたものに $P_k(y)$ を掛け、$x$ と $y$ を入れ替えたものを引くと、$\alpha_k$ の項が消えて

$$(x-y)P_k(x)P_k(y)=\bigl[P_{k+1}(x)P_k(y)-P_k(x)P_{k+1}(y)\bigr]-\beta_k\bigl[P_k(x)P_{k-1}(y)-P_{k-1}(x)P_k(y)\bigr]$$

です。$D_k=P_{k+1}(x)P_k(y)-P_k(x)P_{k+1}(y)$（$D_{-1}=0$）とおくと、右辺は $D_k-\beta_kD_{k-1}$ です。両辺を $h_k$ で割り $\beta_k/h_k=1/h_{k-1}$ を使うと

$$(x-y)\frac{P_k(x)P_k(y)}{h_k}=\frac{D_k}{h_k}-\frac{D_{k-1}}{h_{k-1}}$$

で、$k=0,\dots,n$ について足すと右辺は望遠鏡和になり第 1 式を得ます。第 2 式は第 1 式で $y\to x$ の極限をとったもので、$\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_n(x)P_{n+1}(y)}{x-y}$ の $y\to x$ の極限が $P_{n+1}'(x)P_n(x)-P_n'(x)P_{n+1}(x)$ だからです。正であることは、左辺が $P_0^2/h_0=1/h_0>0$ を含む平方和であることから従います。

∎

左辺 $K_n(x,y)=\sum_{k\lt n}\frac{P_k(x)P_k(y)}{h_k}$（和を $n-1$ までとしたもの）は、$\mathbb{R}[x]_{n-1}$ の再生核です。実際、$q\in\mathbb{R}[x]_{n-1}$ を $q=\sum_{k\lt n}c_kP_k$（$c_k=\langle q,P_k\rangle/h_k$）と展開すれば

$$\int K_n(x,y)\,q(y)\,d\mu(y)=q(x)$$

が成り立ちます。再生核とは、このように積分すると元の多項式をそのまま返す関数のことです。この性質が Gauss 求積の重みの計算で効きます。

5. 零点の実単純性と交互性

次の定理の証明の方針は、背理法です。符号が変わる零点が $n$ 個より少ないと仮定して、それらを零点にもつ低次の多項式 $q$ を作ります。すると $P_n$ と $q$ の積は符号が変わらず、積分が $0$ にならないのに、直交性からは $0$ になるはずだ、という矛盾が出ます。

定理 5.1（零点は実・単純・台の内側）✓

$P_n$（$n\ge1$）の $n$ 個の零点は全て実数で互いに異なり、$I_\mu$ の内部に含まれる。

証明（定理 5.1）

$I_\mu$ の中にある、奇数重複度の $P_n$ の実零点を $x_1,\dots,x_m$ とし、$q(x)=\prod_{i=1}^m(x-x_i)$ とおきます。$m\le n$ です。$P_nq$ は $I_\mu$ の中で符号を変えません（符号が変わるのは奇数重複度の零点だけで、それは全て $q$ の零点として打ち消されているから）。したがって $P_nq$ は $I_\mu$ の上で $\ge0$ か $\le0$ の一方で、連続性により閉包でも同じです。$\mu$ は $I_\mu$ の閉包に集中しているので、$\int P_nq\,d\mu$ の被積分関数は符号が一定で、零でない多項式なので有限個の点を除いて $0$ でなく、条件 (ii) から $\int P_nq\,d\mu\neq0$ です。

$m\lt n$ なら $q\in\mathbb{R}[x]_{n-1}$ なので $\langle P_n,q\rangle=0$ となり矛盾します。よって $m=n$ で、$P_n$ は $I_\mu$ の中に奇数重複度の零点を $n$ 個（重複度を数えて少なくとも $n$）もちます。次数が $n$ なので、これが全ての零点で、全て単純で実です。

∎

定理 5.2（零点の交互性）✓

$P_{n+1}$ の零点を $\xi_1\lt \dots\lt \xi_{n+1}$、$P_n$ の零点を $x_1\lt \dots\lt x_n$ とすると

$$\xi_1\lt x_1\lt \xi_2\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt \xi_{n+1}$$

である。

証明（定理 5.2）

定理 4.1 の第 2 式から、全ての実数 $x$ で $P_{n+1}'(x)P_n(x)-P_n'(x)P_{n+1}(x)>0$ です。$x=\xi_j$ を代入すると $P_{n+1}(\xi_j)=0$ なので $P_{n+1}'(\xi_j)P_n(\xi_j)>0$、すなわち $P_n(\xi_j)$ の符号は $P_{n+1}'(\xi_j)$ の符号に等しいです。$\xi_j$ は 定理 5.1 により単純零点なので、隣り合う零点で $P_{n+1}'$ の符号は交互に変わります（$P_{n+1}$ が $\xi_j$ で符号を変えるため）。したがって $P_n(\xi_1),\dots,P_n(\xi_{n+1})$ の符号は交互で、中間値の定理により各区間 $(\xi_j,\xi_{j+1})$（$n$ 個）に $P_n$ の零点が少なくとも一つあります。$P_n$ の零点は全部で $n$ 個なので、各区間にちょうど一つで、それ以外にはありません。

∎

Legendre 多項式 P₃（白丸）と P₄（黒丸）の零点。P₄ の零点の間に P₃ の零点がちょうど一つずつ入っている。

6. Gauss 求積とヤコビ行列

積分 $\int f\,d\mu$ を、有限個の点での値の重みつき和で近似する公式 $\sum_{i=1}^nw_if(x_i)$ を求積公式といいます。$n$ 個の節点を勝手に取ると、重みをうまく選べば $n-1$ 次の多項式まで厳密にできます。節点を $P_n$ の零点に取ると、次数が倍近くまで上がります。次の定理に出る Lagrange の補間基底 $\ell_i$ は、節点 $x_i$ で $1$、ほかの節点で $0$ になる $n-1$ 次の多項式のことです。

定理 6.1（Gauss 求積）✓

$x_1\lt \dots\lt x_n$ を $P_n$ の零点とし、$\ell_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ を Lagrange の補間基底、$w_i=\int\ell_i\,d\mu$ とする。

1. 任意の $p\in\mathbb{R}[x]_{2n-1}$ について $\int p\,d\mu=\sum_{i=1}^nw_ip(x_i)$。
2. $w_i=\int\ell_i^2\,d\mu>0$ であり、$w_i=1\big/\sum_{k=0}^{n-1}\frac{P_k(x_i)^2}{h_k}$。
3. $n$ 点の求積公式（節点・重みは任意）で、$\mathbb{R}[x]_{2n}$ の全ての多項式に対して厳密なものは存在しない。

証明（定理 6.1）

1: $p\in\mathbb{R}[x]_{2n-1}$ を $P_n$ で割って $p=qP_n+r$（$\deg q\le n-1$、$\deg r\le n-1$）と書きます。$\langle q,P_n\rangle=0$ なので $\int p\,d\mu=\int r\,d\mu$ です。$r$ は次数が $n-1$ 以下なので、節点での値から補間公式 $r=\sum_ir(x_i)\ell_i$ で復元でき、$\int r\,d\mu=\sum_iw_ir(x_i)$ です。$P_n(x_i)=0$ より $r(x_i)=p(x_i)$ なので、1 が従います。

2: $\ell_i^2$ の次数は $2n-2$ なので 1 を適用でき、$\int\ell_i^2d\mu=\sum_jw_j\ell_i(x_j)^2=w_i$ です。これは $\ell_i\neq0$ より正です。さらに、定理 4.1 の第 1 式で $y=x_i$ とし $P_n(x_i)=0$ を使うと、$K_n(x,x_i)=\sum_{k\lt n}\frac{P_k(x)P_k(x_i)}{h_k}=\frac{P_n(x)P_{n-1}(x_i)}{h_{n-1}(x-x_i)}$ です（$n$ を $n-1$ に取り替えた形）。これは $x_j$（$j\ne i$）で $0$ になる次数 $n-1$ の多項式なので、$K_n(\cdot,x_i)=K_n(x_i,x_i)\ell_i$ です。再生核の性質（$q=1$）により $1=\int K_n(x,x_i)d\mu(x)=K_n(x_i,x_i)w_i$ で、2 が従います。

3: 節点が $y_1,\dots,y_n$ の公式があるとし、$p=\prod_i(x-y_i)^2\in\mathbb{R}[x]_{2n}$ をとると $\sum_iw_ip(y_i)=0$ ですが、$\int p\,d\mu>0$ です。

∎

注意 6.2（Gauss 求積の誤差）

$\mu$ の台が有界で凸包が $[a,b]$ のとき、$f\in C^{2n}([a,b])$ に対して $\int f\,d\mu-\sum_iw_if(x_i)=\frac{h_n}{(2n)!}f^{(2n)}(\xi)$ となる $\xi\in[a,b]$ が存在します。節点で値と微分が $f$ に一致する次数 $2n-1$ 以下の多項式 $H$（Hermite 補間）を取ると、定理 6.1 の 1 により左辺は $\int(f-H)\,d\mu$ で、Rolle の定理から $f-H=\frac{f^{(2n)}(\xi_x)}{(2n)!}P_n^2$ と書け、積分の平均値の定理から結論が従います。

節点と重みは、固有値問題としても得られます。考え方は、三項漸化式を $k=0,\dots,n-1$ について縦に並べると行列とベクトルの関係の形になり、$P_n(x)=0$ のときに余りの項が消えて固有値の式 $Av=\lambda v$ になる、ということです。正規直交化した多項式 $\hat p_k=P_k/\sqrt{h_k}$ に対して 定理 3.1 は

$$x\,\hat p_k=\sqrt{\beta_{k+1}}\,\hat p_{k+1}+\alpha_k\,\hat p_k+\sqrt{\beta_k}\,\hat p_{k-1}$$

となります（$\sqrt{h_{k+1}/h_k}=\sqrt{\beta_{k+1}}$、$\beta_k\sqrt{h_{k-1}/h_k}=\sqrt{\beta_k}$）。これを成分とする $n\times n$ の三重対角行列

$$J_n=\begin{pmatrix}\alpha_0&\sqrt{\beta_1}\\\sqrt{\beta_1}&\alpha_1&\sqrt{\beta_2}\\&\ddots&\ddots&\ddots\\&&\sqrt{\beta_{n-1}}&\alpha_{n-1}\end{pmatrix}$$

をヤコビ行列といいます。実対称行列です。

定理 6.3（Golub–Welsch：零点と重みはヤコビ行列から）✓

$J_n$ の固有値は $P_n$ の $n$ 個の零点 $x_1,\dots,x_n$ で、$x_i$ に対する長さ $1$ の固有ベクトルの第 1 成分を $u_i$ とすると、Gauss 求積の重みは $w_i=h_0u_i^2=\mu(\mathbb{R})\,u_i^2$ である。

証明（定理 6.3）

$v(x)=(\hat p_0(x),\dots,\hat p_{n-1}(x))^{\mathsf{T}}$ とおきます。上の漸化式を $k=0,\dots,n-1$ に使うと $J_nv(x)=xv(x)-\sqrt{\beta_n}\,\hat p_n(x)\,e_n$（$e_n$ は第 $n$ 単位ベクトル）です。$P_n(x)=0$ なら $v(x)$（第 1 成分 $\hat p_0=h_0^{-1/2}\neq0$ なので零ベクトルではない）が固有値 $x$ の固有ベクトルです。零点は $n$ 個あり単純なので、これで $J_n$ の $n$ 個の固有値が尽くされます。

$x_i$ の固有ベクトルは $v(x_i)$ の定数倍です。長さ $1$ に正規化すると第 1 成分は $u_i=\hat p_0/\|v(x_i)\|$、$\|v(x_i)\|^2=\sum_{k\lt n}\frac{P_k(x_i)^2}{h_k}=1/w_i$（定理 6.1 の 2）なので、$u_i^2=\frac{w_i}{h_0}$ です。

∎

例 6.4（Chebyshev の重みと等重み求積）

$d\mu=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$（$(-1,1)$）とします。$x=\cos\theta$ とおくと $T_m(\cos\theta)=\cos m\theta$ で多項式 $T_m$（次数 $m$、最高次係数 $2^{m-1}$）が定まります（$\cos(m+1)\theta+\cos(m-1)\theta=2\cos\theta\cos m\theta$ から $T_{m+1}=2xT_m-T_{m-1}$）。置換積分により $\langle T_m,T_l\rangle=\int_0^\pi\cos m\theta\cos l\theta\,d\theta=0$（$m\neq l$）なので、$2^{1-n}T_n$ が $\mu$ の直交多項式 $P_n$ です。零点は $x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ です。重みは全て等しく $w_k=\pi/n$ です。確かめるには、$\mathbb{R}[x]_{2n-1}$ の基底 $T_0,\dots,T_{2n-1}$ について $\frac\pi n\sum_kT_m(x_k)=\int T_m\,d\mu$ を見れば十分です。右辺は $\pi\delta_{m0}$、左辺は $m=0$ で $\pi$、$0\lt m\lt 2n$ では $\frac\pi n\mathrm{Re}\sum_{k=1}^ne^{im(2k-1)\pi/2n}$ で、等比級数の和は $m$ が偶数なら $0$、奇数なら純虚数 $i/\sin\frac{m\pi}{2n}$ になるので、実部は $0$ です。重みは $\ell_i$ に厳密性を適用すれば $w_i=\int\ell_id\mu$ と決まるので、定理 6.1 の Gauss 重みもこの $\pi/n$ です。

7. 古典直交多項式と Rodrigues の公式

Hermite・Laguerre・Legendre・Jacobi の各多項式を、共通の枠組みで扱います。次の定義では、重み $w$ の形を二つの多項式 $\sigma$（次数 2 以下）と $\tau$（次数 1）で指定します。Pearson の方程式 $(\sigma w)'=\tau w$ は、その $w$ が満たす微分方程式です。四つの族は、この $\sigma,\tau$ の選び方の違いにすぎず、後の表でその対応を確かめます。

定義 7.1（古典的な重み）↗

開区間 $(a,b)$（端点は無限でもよい）上の正の $C^1$ 級関数 $w$ が、次数が高々 $2$ の多項式 $\sigma(x)=s_2x^2+s_1x+s_0$ と次数がちょうど $1$ の多項式 $\tau(x)=t_1x+t_0$ について

$$(\sigma w)'=\tau w\qquad(\text{Pearson の方程式})$$

を満たし、さらに (B) 全ての $j\ge0$ について $x^j\sigma(x)w(x)\to0$ $(x\to a+,\ x\to b-)$ と、全ての $j$ について $\int x^jw\,dx\lt \infty$ が成り立つとき、$w$ を古典的な重みという。$d\mu=w\,dx$ とする。

定理 7.2（Rodrigues の公式）✓

古典的な重みに対して $y_n(x)=\dfrac1{w(x)}\dfrac{d^n}{dx^n}\bigl[\sigma(x)^nw(x)\bigr]$ とおく。

1. $y_n$ は次数 $n$ 以下の多項式で、$x^n$ の係数は $\ell_n=\prod_{j=n-1}^{2n-2}(t_1+js_2)$ である。
2. $\deg p\lt n$ の多項式 $p$ について $\int p\,y_n\,w\,dx=0$。
3. $\ell_n\neq0$ なら $\deg y_n=n$ で、$y_n/\ell_n$ は $\mu$ の直交多項式 $P_n$ であり、$\displaystyle\int y_n^2\,w\,dx=(-1)^nn!\,\ell_n\int\sigma^nw\,dx$。
4. 微分方程式 $\sigma P_n''+\tau P_n'=\bigl(n(n-1)s_2+nt_1\bigr)P_n$ が成り立つ。

証明（定理 7.2）

補題: $0\le k\le n$ について $\dfrac{d^k}{dx^k}[\sigma^nw]=\sigma^{n-k}w\,q_{n,k}$ となる多項式 $q_{n,k}$（次数 $\le k$）が存在する。$k=0$ は $q_{n,0}=1$ です。Pearson の方程式から $m\ge1$ に対し $(\sigma^mw)'=\sigma^{m-1}\bigl(\tau+(m-1)\sigma'\bigr)w$ です（$(\sigma^{m}w)'=\sigma^{m-1}(\sigma w)'+(m-1)\sigma^{m-1}\sigma'w$）。これを $k\lt n$ の $q_{n,k}$ に使うと、$\frac d{dx}[\sigma^{n-k}wq_{n,k}]=\sigma^{n-k-1}w\bigl[(\tau+(n-k-1)\sigma')q_{n,k}+\sigma q_{n,k}'\bigr]$ で、括弧の中は次数 $\le k+1$ です。これが $q_{n,k+1}$ です。

1: 補題で $k=n$ とすると $y_n=q_{n,n}$ は次数 $\le n$ の多項式です。括弧の最高次係数の漸化式は、$q_{n,k}$ の $x^k$ の係数を $c_k$ とすると $c_{k+1}=\bigl(t_1+(n-k-1)\cdot2s_2+ks_2\bigr)c_k=(t_1+(2n-k-2)s_2)c_k$ です。$c_0=1$ から $c_n=\prod_{k=0}^{n-1}(t_1+(2n-k-2)s_2)=\ell_n$ です。

2: $\int p\,(\sigma^nw)^{(n)}dx$ を部分積分で $n$ 回変形します。境界項は $p^{(i)}(\sigma^nw)^{(n-1-i)}$ の形で、補題により $(\sigma^nw)^{(n-1-i)}=\sigma^{i}\cdot\sigma w\,q_{n,n-1-i}$（$n-1-i\le n-1$ なので $\sigma^{n-(n-1-i)}=\sigma^{i+1}$）です。これに多項式を掛けたものが条件 (B) により端点で $0$ になります。よって $\int p\,y_nw\,dx=(-1)^n\int p^{(n)}\sigma^nw\,dx$ で、$\deg p\lt n$ なら $p^{(n)}=0$ です。

3: $\ell_n\neq0$ なら 1 より $\deg y_n=n$ で、2 より $y_n\perp\mathbb{R}[x]_{n-1}$ なので 定理 2.2 の一意性により $y_n/\ell_n=P_n$ です。ノルムは 2 と同じ部分積分を $p=y_n$（次数 $n$）に適用して、$\int y_n^2w\,dx=(-1)^n\int y_n^{(n)}\sigma^nw\,dx$、$y_n^{(n)}=n!\,\ell_n$ から従います。

4: 作用素 $Ly=\sigma y''+\tau y'$ は、Pearson の方程式から $Ly=\frac1w(\sigma wy')'$ と書け、$\mathbb{R}[x]_k$ を $\mathbb{R}[x]_k$ に写します。部分積分と (B) により $\langle Lp,q\rangle=-\int\sigma wp'q'\,dx=\langle p,Lq\rangle$ で $L$ は対称です。$q\in\mathbb{R}[x]_{n-1}$ について $\langle LP_n,q\rangle=\langle P_n,Lq\rangle=0$ なので、$LP_n\in\mathbb{R}[x]_n$ は $\mathbb{R}[x]_{n-1}$ に直交し、$LP_n=cP_n$ です。最高次係数を比べて $c=n(n-1)s_2+nt_1$ です。

∎

四つの族がこの枠組みに入ることを確かめます。

名前	区間	重み $w$	$\sigma$	$\tau$	$\ell_n\neq0$ の条件
Hermite $H_n$	$\mathbb{R}$	$e^{-x^2}$	$1$	$-2x$	$s_2=0$、$t_1=-2$
Laguerre $L_n^{(\alpha)}$	$(0,\infty)$	$x^\alpha e^{-x}$（$\alpha>-1$）	$x$	$\alpha+1-x$	$s_2=0$、$t_1=-1$
Legendre $P_n$	$(-1,1)$	$1$	$1-x^2$	$-2x$	$t_1+js_2=-(2+j)$
Jacobi $P_n^{(\alpha,\beta)}$	$(-1,1)$	$(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$（$\alpha,\beta>-1$）	$1-x^2$	$\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x$	$t_1+js_2=-(\alpha+\beta+2+j)$

どの場合も $\ell_n\neq0$ です。Legendre は Jacobi の $\alpha=\beta=0$ で、Jacobi の $\alpha+\beta+2+j>0$ は $\alpha,\beta>-1$ から従います。(B) は、Hermite では $e^{-x^2}x^j\to0$、Laguerre では $x^{\alpha+1}e^{-x}x^j\to0$（$x\to0$ は $\alpha+1>0$ による）、Legendre・Jacobi では $\sigma w=(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\to0$ から確かめられます。

標準的な規格化は次のとおりです。

• Hermite: $H_n=(-1)^ny_n=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$。$\ell_n=(-2)^n$ なので最高次係数は $2^n$、$\int H_n^2e^{-x^2}dx=n!\,2^n\sqrt\pi$（定理 7.2 の 3 で $\int e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ を使う）。
• Laguerre: $L_n^{(\alpha)}=\frac1{n!}y_n=\frac1{n!}x^{-\alpha}e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^{n+\alpha}e^{-x})$。$\ell_n=(-1)^n$、$\int(L_n^{(\alpha)})^2x^\alpha e^{-x}dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}$（$\int x^{n+\alpha}e^{-x}dx=\Gamma(n+\alpha+1)$）。
• Legendre（標準の規格化の多項式は、最高次係数を $1$ にそろえた $P_n$ と区別して $\mathcal P_n$ と書く）: $\mathcal P_n=\frac1{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$。$(x^2-1)^n=(-1)^n(1-x^2)^n$ なので $\mathcal P_n=\frac{(-1)^n}{2^nn!}y_n$。$\ell_n=(-1)^n\frac{(2n)!}{n!}$、最高次係数 $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$、$\int_{-1}^1P_n^2dx=\frac2{2n+1}$。
• Jacobi: $P_n^{(\alpha,\beta)}=\frac{(-1)^n}{2^nn!}y_n$。ノルムは $\frac{2^{\alpha+\beta+1}\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{(2n+\alpha+\beta+1)\,n!\,\Gamma(n+\alpha+\beta+1)}$ で、Beta 積分を使って同様に計算できます。

命題 7.3（Legendre 多項式の基本事項）✓

1. $\int_{-1}^1\mathcal P_n^2dx=\frac2{2n+1}$。
2. $\mathcal P_n(1)=1$、$\mathcal P_n(-1)=(-1)^n$。
3. $\mathcal P_n$ は Legendre の微分方程式 $\bigl((1-x^2)y'\bigr)'+n(n+1)y=0$ を満たす。

証明（命題 7.3）

1: $y_n=\frac{d^n}{dx^n}(1-x^2)^n$ と 定理 7.2 の 3 から $\int y_n^2dx=(-1)^nn!\,\ell_n\int_{-1}^1(1-x^2)^ndx=(2n)!\,I_n$、$I_n=\int_{-1}^1(1-x^2)^ndx$ です。部分積分 $I_n=I_{n-1}-\int x\cdot x(1-x^2)^{n-1}dx=I_{n-1}-\frac{I_n}{2n}$（$x(1-x^2)^{n-1}=-\frac1{2n}\frac d{dx}(1-x^2)^n$ を使う）より $I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$、$I_0=2$ なので $I_n=\frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$ です。$\mathcal P_n=\frac{(-1)^n}{2^nn!}y_n$ を二乗して、$\int\mathcal P_n^2dx=\frac{(2n)!\,I_n}{2^{2n}(n!)^2}=\frac2{2n+1}$ です。

2: $(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n$ の $n$ 階微分を Leibniz の公式で書くと、$x=1$ で零にならないのは $(x-1)^n$ に $n$ 回の微分が全て当たる項 $n!\,(x+1)^n$ だけで、$x=1$ で $n!\,2^n$ です。よって $\mathcal P_n(1)=1$。$(x^2-1)^n$ が偶関数なので $n$ 階微分は偶奇性 $(-1)^n$ をもち、$\mathcal P_n(-1)=(-1)^n$ です。

3: 定理 7.2 の 4 で $\sigma=1-x^2$、$\tau=-2x$、$s_2=-1$、$t_1=-2$ です。$(\sigma y')'=\sigma y''+\sigma'y'=\sigma y''+\tau y'$ なので、定理 7.2 の 4 は $\bigl((1-x^2)y'\bigr)'=\bigl(n(n-1)(-1)+n(-2)\bigr)y=-n(n+1)y$ を意味します。$\mathcal P_n$ は $P_n$ の定数倍なので同じ式を満たします。

∎

例 7.4（三項漸化式の具体形）

測度が偶な Hermite と Legendre では $\alpha_n=0$ で、定理 3.1 の $\beta_n=h_n/h_{n-1}$（$h_n$ は最高次係数を $1$ にそろえた多項式のノルム二乗）を計算するだけです。

Hermite: $P_n=2^{-n}H_n$ なので $h_n=2^{-2n}\cdot n!\,2^n\sqrt\pi=n!\sqrt\pi/2^n$、$\beta_n=n/2$ です。$xP_n=P_{n+1}+\frac n2P_{n-1}$ に $P_n=2^{-n}H_n$ を代入して、$H_{n+1}=2xH_n-2nH_{n-1}$ を得ます。

Legendre: 最高次係数を $\lambda_n=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ とすると $\lambda_n/\lambda_{n-1}=\frac{2n-1}n$、$\beta_n=\frac{2n-1}{2n+1}\bigl(\frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n}\bigr)^2=\frac{n^2}{(2n+1)(2n-1)}$ です。$\mathcal P_n=\lambda_nP_n$ で書き直すと $(2n+1)x\mathcal P_n=(n+1)\mathcal P_{n+1}+n\mathcal P_{n-1}$ です。

Laguerre: Rodrigues の公式を Leibniz 則で展開すると $y_n=\sum_k\binom nk(-1)^k\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)}x^k$ で、$x^n$ の係数は $(-1)^n$、$x^{n-1}$ の係数は $(-1)^{n-1}n(n+\alpha)$ です。最高次係数を $1$ にした $Q_n=(-1)^ny_n=x^n-n(n+\alpha)x^{n-1}+\cdots$ について、漸化式の $x^n$ の係数を比べると $\alpha_n=-n(n+\alpha)+(n+1)(n+1+\alpha)=2n+1+\alpha$、$\beta_n=h(Q_n)/h(Q_{n-1})=n(n+\alpha)$ です。$Q_n=(-1)^nn!L_n^{(\alpha)}$ を代入して $(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}=(2n+1+\alpha-x)L_n^{(\alpha)}-(n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}$ を得ます。

Jacobi 多項式の三項漸化式も、同じ方法（ノルムの比と次高次係数）で $\alpha_n,\beta_n$ が求まります。具体形は Szegő の本の 4.5 節にあります。

8. 演習

演習 8.1易

Legendre の測度で、最高次係数を $1$ にそろえた $P_3$ を漸化式から求め、零点を計算せよ。

解答

例 7.4 より $\beta_n=\frac{n^2}{(2n+1)(2n-1)}$ で、$\alpha_n=0$ です。$P_2=x^2-\frac13$（例 2.3）、$\beta_2=\frac4{15}$ なので $P_3=xP_2-\beta_2P_1=x^3-\frac x3-\frac{4x}{15}=x^3-\frac35x$ です。零点は $0,\pm\sqrt{3/5}\approx\pm0.7746$ で、図の値と一致します。

演習 8.2標準

Legendre の測度の 3 点 Gauss 求積の節点と重みを求め、$\int_{-1}^1x^4dx$ に適用して検算せよ。

解答

節点は 演習 8.1 の零点 $0,\pm\sqrt{3/5}$ です。対称性より重みは $w_0$ と、$\pm$ の二つに共通の $w_1$ です。次数 $5$ 以下で厳密（定理 6.1 の 1）なので $1$ と $x^2$ に使うと $w_0+2w_1=2$、$2w_1\cdot\frac35=\frac23$ で、$w_1=\frac59$、$w_0=\frac89$ です。$x^4$ では $2\cdot\frac59\cdot\bigl(\frac35\bigr)^2=\frac{10}9\cdot\frac9{25}=\frac25=\int_{-1}^1x^4dx$ で一致します。

演習 8.3難

定理 6.1 の重みについて、$w_i=\dfrac{h_{n-1}}{P_{n-1}(x_i)\,P_n'(x_i)}$ を示せ。

解答

定理 4.1 の第 2 式で $n$ を $n-1$ に取り替えると $\sum_{k\lt n}\frac{P_k(x)^2}{h_k}=\frac1{h_{n-1}}\bigl(P_n'(x)P_{n-1}(x)-P_{n-1}'(x)P_n(x)\bigr)$ です。$x=x_i$ では $P_n(x_i)=0$ なので右辺は $\frac{P_n'(x_i)P_{n-1}(x_i)}{h_{n-1}}$ です。定理 6.1 の 2 の $w_i=1/\sum_{k\lt n}P_k(x_i)^2/h_k$ に代入します。

参考文献

• Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, 4th edition, American Mathematical Society, 1975 — 第 II 章（一般論）、第 III–V 章（古典的な族）。
• Theodore S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 1978 — 第 I 章（三項漸化式と Favard の定理）。
• Philip J. Davis, Philip Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd edition, Academic Press, 1984 — 第 2 章（Gauss 求積）。
• Gene H. Golub, John H. Welsch, “Calculation of Gauss quadrature rules”, Mathematics of Computation 23 (1969), 221–230.
• Mourad E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005.