Rodrigues の公式

古典的な重みに対して $y_n(x)=\dfrac1{w(x)}\dfrac{d^n}{dx^n}\bigl[\sigma(x)^nw(x)\bigr]$ とおく。

1. $y_n$ は次数 $n$ 以下の多項式で、$x^n$ の係数は $\ell_n=\prod_{j=n-1}^{2n-2}(t_1+js_2)$ である。
2. $\deg p\lt n$ の多項式 $p$ について $\int p\,y_n\,w\,dx=0$。
3. $\ell_n\neq0$ なら $\deg y_n=n$ で、$y_n/\ell_n$ は $\mu$ の直交多項式 $P_n$ であり、$\displaystyle\int y_n^2\,w\,dx=(-1)^nn!\,\ell_n\int\sigma^nw\,dx$。
4. 微分方程式 $\sigma P_n''+\tau P_n'=\bigl(n(n-1)s_2+nt_1\bigr)P_n$ が成り立つ。