正規直交基底による展開

$V$ を $\mathbb{K}$ 上の内積空間、$e_1,\ldots,e_n$ を $V$ の正規直交基底とする。このとき次が成り立つ。

1. 任意の $x\in V$ に対し $\displaystyle x = \sum_{k=1}^{n}\langle x,e_k\rangle e_k$ である。すなわち基底 $(e_k)$ に関する $x$ の第 $k$ 座標は $\langle x,e_k\rangle$ で与えられる。
2. 任意の $x,y\in V$ に対し $\displaystyle \langle x,y\rangle = \sum_{k=1}^{n}\langle x,e_k\rangle\overline{\langle y,e_k\rangle}$ である。
3. 任意の $x\in V$ に対し $\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{k=1}^{n}|\langle x,e_k\rangle|^2$（パーセバルの等式）。