不変部分空間の直交補空間

$A$ を $n$ 次エルミート行列、$W \subseteq \mathbb{C}^n$ を部分空間とし、$W$ が $A$ 不変、すなわち $A\boldsymbol{w} \in W$ がすべての $\boldsymbol{w} \in W$ で成り立つとする。このとき直交補空間 $W^{\perp} = \{\boldsymbol{y} : \langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{w}\rangle = 0\ (\forall \boldsymbol{w}\in W)\}$ もまた $A$ 不変である。さらに、$W^{\perp}$ の正規直交基底 $\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_m$ をとり、$A\boldsymbol{v}_j = \sum_{i=1}^{m} b_{ij}\boldsymbol{v}_i$ で定まる $m$ 次行列 $B = (b_{ij})$ を作ると、$B$ はエルミート行列である。